Chủ đề này có 1 trả lời

[Sagittarius912]

Tìm các góc của tam giác ABC có
$Q=sin^{2}A+sin^{2}B-sin^{2}C$ nhỏ nhất

[dark templar]

Tìm các góc của tam giác ABC có
$Q=sin^{2}A+sin^{2}B-sin^{2}C$ nhỏ nhất

Vẫn chỉ là những biến đổi Lượng giác sơ cấp
**********
Biến đổi Q về dạng
$2Q=1+\cos 2C-(\cos 2A+\cos 2B)=2\cos^2C-2\cos (A+B)\cos (A-B)=2\cos^2 C+2\cos C\cos (A-B)$
Ta sẽ chứng minh rằng $2\cos^2 C+2\cos C\cos (A-B) \ge \dfrac{-1}{2}$
Thật vậy,BĐT tương đương với $4\cos^2 C+4\cos C\cos (A-B)+1 \ge 0(*)$
Xem đây là tam thức bậc 2 ẩn là $\cos C$,ta có $\Delta'=4(\cos^2 (A-B)-1) \le 0,\forall A,B$ nên theo định lý về dấu của tam thức bậc 2,ta sẽ có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi $\Delta'=0 \iff \cos (A-B)=1 \iff A=B$,khi đó thay vào (*),ta sẽ có :
$4\cos^2 C+4\cos C+1=0 \iff \cos C=\dfrac{-1}{2} \iff C=\dfrac{2\pi}{3}$
Từ đó suy ra $A=B=\dfrac{\pi}{6}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 30-12-2012 - 09:32