Lời giải:Không mất tính tổng quát, ta sắp xếp các phần tử của $A$ như sau: \[
1 \le a_1 < a_2 < a_3 < a_4
\]
Xét cặp số $(2;4)$ không thể là cặp số đẹp vì nếu
\[
a_2 + a_4 |S_A \Rightarrow a_2+a_4|a_1+a_3 \Rightarrow a_1 + a_3 \ge a_2 + a_4:\textrm{ vô lý}
\]
Tương tự, cặp số $(3;4)$ cũng không thể là số đẹp vì nếu
\[
a_3 + a_4 |S_A \Rightarrow a_3+a_4|a_1+a_2 \Rightarrow a_1 + a_2 \ge a_3 + a_4: \textrm{ vô lý}
\]
Mà có tất cả $6$ cặp $(i;j)$. Do đó, số cặp số đẹp không quá $4$. Đẳng thức xảy ra
\[
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a_1 + a_2 |a_3 + a_4 \\
a_1 + a_3 |a_2 + a_4 \\
a_2 + a_3 |a_1 + a_4 \\
a_1 + a_4 |a_2 + a_3 \\
a_2 + a_4 \not |a_1 + a_3 \\
a_3 + a_4 \not |a_1 + a_2 \\
\end{array} \right. \Rightarrow \exists x \ge y \ge 2:\left( I \right)\left\{ \begin{array}{l}
a_2 + a_3 = a_1 + a_4 ,\left( i \right) \\
a_3 + a_4 = x\left( {a_1 + a_2 } \right),\left( {ii} \right) \\
a_2 + a_4 = y\left( {a_1 + a_3 } \right),\left( {iii} \right) \\
\end{array} \right.
\]
Nếu $x=y$ \[
\Rightarrow a_3 - a_2 = xa_2 - ya_3 \Rightarrow a_3 = a_2 :\textrm{ vô lý } \Rightarrow x > y
\]
\[
\left( {iii} \right) + \left( i \right) \Rightarrow y\left( {a_1 + a_3 } \right) + a_1 + a_4 = 2a_2 + a_4 + a_3 \Rightarrow y\left( {a_1 + a_3 } \right) = 2a_2 + a_3 - a_1
\]
Nếu $y \ge 3$
\[
\Rightarrow n\left( {a_1 + a_3 } \right) > 3a_3 > 2a_2 + a_3 - a_1 :\textrm{ vô lý } \Rightarrow y = 2
\]
\[
\begin{array}{l}
\left. \begin{array}{l}
\Rightarrow 3a_1 + a_3 = 2a_2 \Rightarrow 6a_1 + 2a_3 = 4a_2 \\
\left( i \right) + \left( {ii} \right) \Rightarrow a_2 + 2a_3 = \left( {x + 1} \right)a_1 + xa_2 \\
\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {5 - x} \right)a_2 = \left( {x + 7} \right)a_1 \\
\left. \begin{array}{l}
\Rightarrow 5 - x \ge 1 \\
x > y = 2 \\
\end{array} \right\} \Rightarrow x \in \left\{ {3;4} \right\} \\
\left( a \right):\left\{ \begin{array}{l}
a_2 + a_3 = a_1 + a_4 \\
a_3 + a_4 = 3\left( {a_1 + a_2 } \right) \\
a_2 + a_4 = 2\left( {a_1 + a_3 } \right) \\
\end{array} \right. \Rightarrow \left( {a_1 ;a_2 ;a_3 ;a_4 } \right) = \left( {d;5d;7d;11d} \right) \\
\left( b \right):\left\{ \begin{array}{l}
a_2 + a_3 = a_1 + a_4 \\
a_3 + a_4 = x\left( {a_1 + a_2 } \right) \\
a_2 + a_4 = y\left( {a_1 + a_3 } \right) \\
\end{array} \right. \Rightarrow \left( {a_1 ;a_2 ;a_3 ;a_4 } \right) = \left( {d;11d;19d;29d} \right) \\
\end{array}
\]
Trả lời: Tập $A$ có dạng $\lbrace d;5d;7d;11d \rbrace$ hoặc $\lbrace d;11d;19d;29d \rbrace$ (với $d \in \mathbb{Z}^+$) thì $A$ có số cặp đẹp nhiều nhất và bằng $4$.
@supermember : :X :X :X
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 30-12-2012 - 16:15
