Chủ đề này có 539 trả lời

[HungHuynh2508]

$x^{2}-x+1\neq x^{2}+1-x$ hở bạn?

bạn mới sửa lại đấy thôi

[Zony Nguyen]

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a+b+c}-\frac{1}{c}$
$\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}=\frac{-a-b}{c(a+b+c)}$
$\Leftrightarrow (a+b)\left ( \frac{1}{ab}+\frac{1}{c(a+b+c)} \right )=0$
$\Leftrightarrow (a+b) \left [\frac{ab+c(a+b+c)}{abc(a+b+c)} \right ]=0$
$\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)=0$

* TH1: $a=-b$. Ta có $\frac{1}{a^{n}}+\frac{1}{b^{n}}=0$. Ta được đpcm.
* Tương tự với hai trường hợp còn lại.

Cách khác được không ! ta có $\frac{1}{a} +\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a+b+c}$
Suy ra $\frac{bc+ac+ab}{abc} = \frac{1}{a+b+c}$
nên $(bc+ab+ac)(a+b+c)-abc = 0$
Từ đây ta phân tích thành nhân tử ( chứ cái của anh không giống phan tích thành nhân tử)
$(a+b)(b+c)(a+c)= 0$
Suy ra :
$a=-b ; b = -c ; c= -a$
Vì n lẻ nên :
$a^{n}=-b^{2} ; b^{n}= -c^{2} ; c^{n}= -a^{2}$
Cuối cùng thay vào là có điều chứng minh .

[banhgaongonngon]

Cách khác được không ! ta có $\frac{1}{a} +\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a+b+c}$
Suy ra $\frac{bc+ac+ab}{abc} = \frac{1}{a+b+c}$
nên $(bc+ab+ac)(a+b+c)-abc = 0$
Từ đây ta phân tích thành nhân tử ( chứ cái của anh không giống phan tích thành nhân tử)
$(a+b)(b+c)(a+c)= 0$
Suy ra :
$a=-b ; b = -c ; c= -a$
Vì n lẻ nên :
$a^{n}=-b^{2} ; b^{n}= -c^{2} ; c^{n}= -a^{2}$
Cuối cùng thay vào là có điều chứng minh .

Cái này là phân tích đa thức thành nhân tử mà. Có điều là làm cho công việc phân tích nhàn hạ hơn thôi.
Đầu tiên là đặt nhân tử chung $a+b$ nhé: $(a+b)\left ( \frac{1}{ab}+\frac{1}{c(a+b+c)} \right )=0$
Sau đó quy đồng : $(a+b)\left ( \frac{c(a+b+c)+ab}{abc(a+b+c)} \right )=0$
$\Leftrightarrow \frac{(a+b)(c^{2}+ac+bc+ab)}{abc(a+b+c)}=0$
Rồi lại phân tích này $c^{2}+ac+bc+ab=c(a+c)+b(a+c)=(a+c)(b+c)$, đúng chứ?

Còn cách phân tích kiểu kia thì Oral1020 làm rồi mà

[DarkBlood]

Bài 22 :
Xét hằng đẳng thức $(x+1)^{2} = x^{2} +2x +1$ lần lượt cho $x= 1,2,3,......n$ rồi cộng từng vế n đẳng thức trên để tính tổng $S = 1+2+3+....+n$ .

Nốt bài cuối .
Áp dụng HĐT $(x+1)^{2} = x^{2} +2x +1$:
Với $x=1,$ ta có: $2^2=1^2+2.1+1$
Với $x=2,$ ta có: $3^2=2^2+2.2+1$
Với $x=3,$ ta có: $4^2=3^2+2.3+1$
Với $x=4,$ ta có: $5^2=4^2+2.4+1$
.....................................................
Với $x=n,$ ta có: $(n+1)^2=n^2+2.n+1$
Cộng vế theo vế, ta được:
$2^2+3^2+4^2+5^2+...+(n+1)^2=(1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2)+2(1+2+3+...+n)+n$
$\Leftrightarrow (n+1)^2-1-n=2(1+2+3+4+...+n)$
$\Leftrightarrow 2(1+2+3+4+...+n)=n^2+2n+1-1-n$
$\Leftrightarrow 1+2+3+4+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 01-01-2013 - 12:57

[DarkBlood]

Bài 19:
Biến đổi biểu thức tính diện tích tam giác (theo Hêrông) có 3 cạnh là $a,$ $b,$ $c$ dưới dạng $p,$ $q,$ $r$:
$p=a+b+c;$ $q=ab+bc+ca;$ $r=abc$

Với $a,$ $b,$ $c$ là 3 cạnh của 1 tam giác; $S$ là diện tích tam giác; $p$ là nửa chu vi, khi đó ta có:
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Theo hệ thức Hê-rông, ta có:
$S=\sqrt{\left ( \frac{a+b+c}{2} \right )\left ( \frac{a+b+c}{2}-a \right )\left ( \frac{a+b+c}{2}-b \right )\left ( \frac{a+b+c}{2}-c \right )}$
$\Leftrightarrow S=\sqrt{\frac{a+b+c}{2}.\frac{a+b-c}{2}.\frac{a-b+c}{2}.\frac{b+c-a}{2}}$
$\Leftrightarrow S=\sqrt{\frac{2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4}{16}}$ $<1>$

Ta có:
$+)$ $q=ab+bc+ca$
$\Leftrightarrow q^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc(a+b+c)$
$\Leftrightarrow q^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2rp$
$\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=q^2-2rp$ $<2>$

$+)$ $p=a+b+c$
$\Leftrightarrow p^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$
$\Leftrightarrow p^2=a^2+b^2+c^2+2q$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=p^2-2q$

$+)$ $p^4=\left [ \left ( a^2+b^2+c^2 \right )+2q \right ]^2$
$\Leftrightarrow p^4=\left ( a^2+b^2+c^2 \right )^2+4q\left ( a^2+b^2+c^2 \right )+4q^2$
$\Leftrightarrow p^4=\left ( a^2+b^2+c^2 \right )^2+4q\left ( p^2-2q\right )+4q^2$
$\Leftrightarrow \left ( a^2+b^2+c^2 \right )^2=p^4-4q\left ( p^2-2q\right )-4q^2$
$\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)=p^4-4q\left ( p^2-2q\right )-4q^2$
$\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2(q^2-2rp)=p^4-4q\left ( p^2-2q\right )-4q^2$
$\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=p^4-4q\left ( p^2-2q\right )-4q^2-2(q^2-2rp)$ $<3>$

Từ $(1),$ $(2),$ $(3),$ ta có:
$S=\sqrt{\frac{2\left ( q^2-2rp \right )-\left [ p^4-4q\left ( p^2-2q\right )-4q^2-2(q^2-2rp) \right ]}{16}}$
$\Leftrightarrow S=\sqrt{\frac{2q^2-4rp-p^4+4q\left ( p^2-2q\right )+4q^2+2(q^2-2rp)}{16}}$
$\Leftrightarrow S=\sqrt{\frac{2q^2-4rp-p^4+4p^2q-8q^2+4q^2+2q^2-4rp}{16}}$
$\Leftrightarrow S=\sqrt{\frac{4p^2q-p^4-8rp}{16}}$
$\Leftrightarrow S=\frac{\sqrt{p\left ( 4pq-p^3-8r \right )}}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 01-01-2013 - 19:33

[Sagittarius912]

Theo hệ thức Hê-rông, ta có:
$S=\sqrt{\left ( \frac{a+b+c}{2} \right )\left ( \frac{a+b+c}{2}-a \right )\left ( \frac{a+b+c}{2}-b \right )\left ( \frac{a+b+c}{2}-c \right )}$
$\Leftrightarrow S=\sqrt{\frac{a+b+c}{2}.\frac{a+b-c}{2}.\frac{a-b+c}{2}.\frac{b+c-a}{2}}$
$\Leftrightarrow S=\sqrt{\frac{2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4}{16}}$ $<1>$

Ta có:
$+)$ $q=ab+bc+ca$
$\Leftrightarrow q^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc(a+b+c)$
$\Leftrightarrow q^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2rp$
$\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=q^2-2rp$ $<2>$

$+)$ $p=a+b+c$
$\Leftrightarrow p^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$
$\Leftrightarrow p^2=a^2+b^2+c^2+2q$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=p^2-2q$

$+)$ $p^4=\left [ \left ( a^2+b^2+c^2 \right )+2q \right ]^2$
$\Leftrightarrow p^4=\left ( a^2+b^2+c^2 \right )^2+4q\left ( a^2+b^2+c^2 \right )+4q^2$
$\Leftrightarrow p^4=\left ( a^2+b^2+c^2 \right )^2+4q\left ( p^2-2q\right )+4q^2$
$\Leftrightarrow \left ( a^2+b^2+c^2 \right )^2=p^4-4q\left ( p^2-2q\right )-4q^2$
$\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)=p^4-4q\left ( p^2-2q\right )-4q^2$
$\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2(q^2-2rp)=p^4-4q\left ( p^2-2q\right )-4q^2$
$\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=p^4-4q\left ( p^2-2q\right )-4q^2-2(q^2-2rp)$ $<3>$

Từ $(1),$ $(2),$ $(3),$ ta có:
$S=\sqrt{\frac{2\left ( q^2-2rp \right )-\left [ p^4-4q\left ( p^2-2q\right )-4q^2-2(q^2-2rp) \right ]}{16}}$
$\Leftrightarrow S=\sqrt{\frac{2q^2-4rp-p^4+4q\left ( p^2-2q\right )+4q^2+2(q^2-2rp)}{16}}$
$\Leftrightarrow S=\sqrt{\frac{2q^2-4rp-p^4+4p^2q-8q^2+4q^2+2q^2-4rp}{16}}$
$\Leftrightarrow S=\sqrt{\frac{4p^2q-p^4-8rp}{16}}$
$\Leftrightarrow S=\frac{\sqrt{p\left ( 4pq-p^3-8r \right )}}{4}$

em siêng thật, anh nhác lắm nên mới phân tích kiểu này:
Đặt $b+c-a=x$
$c+a-b=y$
$a+b-c=z$
khi đó ta có các biểu thức:
$p'=a+b-c+b+c-a+a+c-b=a+b+c=p$ (1)
$q'=\sum (a+b-c)(b+c-a)=\sum (b^{2}-(c-a)^{2})=2(ab+bc+ca)-(a^{2}+b^{2}+c^{2})=4q-p^{2}$
và cái cuói cùng cũng là cái quan trọng nhât: ^^
từ đẳng thức:
$(x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz$$(x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz\Rightarrow r'=p'.q'-(a+b-c+c+a-b)(a+b-c+b+c-a)(b+c-a+c+a-b)=p(4q-p^{2})-8r$ (2)

Khi đó ta có
$S=\frac{1}{4}\sqrt{xyz(x+y+z)}=\frac{1}{4}.\sqrt{r'.p'}$ (*)
Thay (1)(2) vào (*) ta có $S=\frac{\sqrt{4p^{2}q-p^{4}-8pr}}{4}$
________________________

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doandat97: 01-01-2013 - 20:42

[nthoangcute]

Hình như bài tập hơi ít !
Để mình post lên cho nhiều @.@ (Mọi người làm nhiều cho quen)
Bài 1:
a) $x^4-31x^3-22x^2-310x-320$
b) $2x^4+11x^3+9x^2-14x-8$
c) $2x^4+11x^3+9x^2-14x-8$
d) $x^5-8x^3-10x^2+9x^4-2x+7$
e) $x^5+15x^4+90x^3+270x^2+405x+240$
f) $x^8+4x^6+3x^7+x^5-6x^4-11x^3-11x^2-6x-2$
g) $x^8+5x^6+6x^4-4x^2+x^7+6x^5+12x^3+8x-8$
Bài 2:
a) $2x^3+5x^2y-3xy^2+2x^2+5xy-3y^2$
b) $x^3y+4x^2y^2-5xy^3+x^2+4xy-5y^2$
c) $x^3y^2-2x^2y^3+3x^2y-6xy^2+2x-4y$
d) $2x^2y-x^2z-5xzy+xz^2+6xy^2-6y^2z+3yz^2$
e) $4x^2y+12x^2z-4xy^2-12xzy+y^3+3y^2z$
f) $x^2yz-2x^2y+x^2z-2x^2-y^3z+2y^3-y^2z+2y^2$
g) $x^2y^2z^2+4xy^2z+3x^2yz+12xy+2yz^2x+8yz+6xz+24$
h) $x^2z^2y+xzy+3x^2yz+3xy-2xz^2-2z-6xz-6$
i) $(x+y)^7-x^7-y^7$

[Oral1020]

a)$x^4-31x^3-22x^2-310x-320$
$=x^4-32x^3+x^3-32x^2+10x^2-320x+10x-320$
$=(x^3+x^2+10x+10)(x-32)$
$=[x(x^2+10)+x^2+10)](x-32)$
$=(x+1)(x^2+10)(x-32)$
b)$2x^4+11x^3+9x^2-14x-8$
$=2x^4-2x^3+13x^3-13x^2+22x^2-22x+8x-8$
$=(2x^3+13x^2+22x+8)(x-1)$
$=(2x^3+4x^2+9x^2+18x+16x+8)(x-1)$
$=(2x^2+9x+16)(x-1)(x+2)$
$=[2x(x+4)+(x+4)](x-1)(x+2)$
$=(2x+1)(x+4)(x-1)(x+2)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 01-01-2013 - 21:24

[Oral1020]

d)$x^5+9x^4-8x^3-10x^2-2x+7$
$=(x^5-x^3-x^2)+(9x^4-9x^2-9x)-(7x^3-7x-7)$
$=(x^2+9x-7)(x^3-x-1)$
e)$x^5+15x^4+90x^3+270x^2+405x+240$
$=(x+5)^3-3$
$=(x+5)^3-(\sqrt[5]{3})^5$
$=.....$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 01-01-2013 - 21:31

[HungHuynh2508]

b, =(x-1)(x+2)(x+4)(2x+1)

[Oral1020]

b, =(x-1)(x+2)(x+4)(2x+1)

Mần rõ ra bạn nhé.Chứ bấm nghiệm rồi cho luôn thì ai làm mà không được
---------------------
2a)
$2x^3+5x^2y-3xy^2+2x^2+5xy-3y^2$
$=(x^3-x^2y+2x^2-xy)+(6x^2y-3xy^2+6xy-3y^2)$
$=(2x^2-xy+2x-y)(x+3y)$
$=[x(2x-y)+2x-y](x+3y)$
$=(x+1)(2x-y)(x+3y)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 01-01-2013 - 21:38

[Sagittarius912]

câu 1c:
$(x+2)(x+4)(2x+1)(x-1)$

[HungHuynh2508]

câu 1c:
$(x+2)(x+4)(2x+1)(x-1)$

1c là 1b đấy thôi

[Zony Nguyen]

2b, $(xy+1)(x-3y)(x-y)$

[Yagami Raito]

Cám ơn mọi người đã đóng góp topic sôi nổi, nhưng mình có một đề nghị khi giải các bạn nhớ viết kèm theo bài và số câu ví dụ như 2b) , 3c).....chứ thế này không biết được câu nào cả.

a)$x^4-31x^3-22x^2-310x-320$
$=x^4-32x^3+x^3-32x^2+10x^2-320x+10x-320$
$=(x^3+x^2+10x+10)(x-32)$
$=[x(x^2+10)+x^2+10)](x-32)$
$=(x+1)(x^2+10)(x-32)$
b)$2x^4+11x^3+9x^2-14x-8$
$=2x^4-2x^3+13x^3-13x^2+22x^2-22x+8x-8$
$=(2x^3+13x^2+22x+8)(x-1)$
$=(2x^3+4x^2+9x^2+18x+16x+8)(x-1)$
$=(2x^2+9x+16)(x-1)(x+2)$
$=[2x(x+4)+(x+4)](x-1)(x+2)$
$=(2x+1)(x+4)(x-1)(x+2)$

d)$x^5+9x^4-8x^3-10x^2-2x+7$
$=(x^5-x^3-x^2)+(9x^4-9x^2-9x)-(7x^3-7x-7)$
$=(x^2+9x-7)(x^3-x-1)$
e)$x^5+15x^4+90x^3+270x^2+405x+240$
$=(x+5)^3-3$
$=(x+5)^3-(\sqrt[5]{3})^5$
$=.....$

b, =(x-1)(x+2)(x+4)(2x+1)

Thanks!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 02-01-2013 - 20:38

[Oral1020]

Câu 2i)
$(x+y)^7-x^7-y^7$
Cái này thì
$(x+y)^7-(x^7+y^7)$
$=(x+y)^7-(x+y)(x^6-x^5y+....+y^6)$
$=........$
$=7xy(x+y)(x^2+xy+y^2)^2$
Bạn nào có cách nhanh chỗ $......$ không

[nthoangcute]

Có cần thêm bài tập không nhỉ ?
1) $3x^2+2xy-8y^2$
2) $26x^2-63xy-98y^2$
3) $36x^2-15xy+12x-5y$
4) $6x^2-13xy-7x-5y^2+9y+2$
5) $6x^2-5xy-x-6y^2-5y-1$
6) $6x^2-7xy-63x-3y^2+23y+156$
7) $12x^2-xy-10x-6y^2-y+2$
8) $2x^2-5xy-2x+3y^2+2y$
9) $2x^2-3xy-8x+y^2+7y+6$
10) $x^2y-6x-xy^2+6y+3xy-18$
11) $x^2y+x^2-23x-xy^2+2xy+26y-78$
12) $2x^2y^2+2x^2y-4xy-xy^2+2y+x-2$
13) $8x^2-2x-8y^2+10y-3$
14) $2xy+8x^2+2x-10y^2+7y-1$
15) $6xy+8x^2+10x-5y^2+23y-12$
16) $6xy+8x^2+10x^2y-5y^2+23xy^2-12x^2y^2$
17) $-6x^2y-4x^2-4xy-4x+3xy^2-y^2+2y+4x^2y^2$
18) $2x^2y-4x^2+4xy-4x-xy^2-y^2+2y$
19) $2x^2y^2z-4x^2y+4xyz-4x-xy^2z^2-yz^2+2z-3xy^2z+6xy-3yz+6$
20) $x^2y^2z+x^2y^2-x^2y+x^2yz-2x^2-xy+2x-xy^2z^2-xy^2z-z^2xy+2zx+yz^2+yz-2z$

_____________
P/s: Bài dễ ưu tiên cho các em THCS lớp dưới

[Yagami Raito]

Có cần thêm bài tập không nhỉ ?
1) $3x^2+2xy-8y^2$
2) $26x^2-63xy-98y^2$
3) $36x^2-15xy+12x-5y$
4) $6x^2-13xy-7x-5y^2+9y+2$
5) $6x^2-5xy-x-6y^2-5y-1$
6) $6x^2-7xy-63x-3y^2+23y+156$
7) $12x^2-xy-10x-6y^2-y+2$
8) $2x^2-5xy-2x+3y^2+2y$
9) $2x^2-3xy-8x+y^2+7y+6$
10) $x^2y-6x-xy^2+6y+3xy-18$
11) $x^2y+x^2-23x-xy^2+2xy+26y-78$
12) $2x^2y^2+2x^2y-4xy-xy^2+2y+x-2$
13) $8x^2-2x-8y^2+10y-3$
14) $2xy+8x^2+2x-10y^2+7y-1$
15) $6xy+8x^2+10x-5y^2+23y-12$
16) $6xy+8x^2+10x^2y-5y^2+23xy^2-12x^2y^2$
17) $-6x^2y-4x^2-4xy-4x+3xy^2-y^2+2y+4x^2y^2$
18) $2x^2y-4x^2+4xy-4x-xy^2-y^2+2y$
19) $2x^2y^2z-4x^2y+4xyz-4x-xy^2z^2-yz^2+2z-3xy^2z+6xy-3yz+6$
20) $x^2y^2z+x^2y^2-x^2y+x^2yz-2x^2-xy+2x-xy^2z^2-xy^2z-z^2xy+2zx+yz^2+yz-2z$

_____________
P/s: Bài dễ ưu tiên cho các em THCS lớp dưới

Trời nhiều thế... Đây coi là bài III nha! Chị viết 2 bài ở trên rùi

[Yagami Raito]

Giải quyết vài câu nhanh mà đi ngủ
Bài III
1. $3x^{2}+2xy-8y^{2}=(x+2y)(3x-4y)$
2.$26x^{2}-632xy-98y^{2}=(2x-7y)(13x+14)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 02-01-2013 - 21:41

[Tienanh tx]

Bài $1$: $3x^2+2xy-8y^2 = (3x^2 +6xy) - (4xy+8y^2)= 3x(x+2y)-4y(x+2y) = (x+2y) (3x-4y)$