Chủ đề này có 539 trả lời

[DarkBlood]

Mình thích topic này . Mà sao dạo này vắng vậy . Cho mình góp vài bài nha .!

Bài 1 : CMR : nếu $x^{4}+y^{4}+z^{4}+ t^{4}= 4xyzt$ và $x , y,z,t$ là các số dương thì $x=y=z=t$
Bài 2 : Chứng minh đa thức $a^{50}+a^{49}+.....+a^{2}+a+1$ chia hết cho đa thức $a^{16}+a^{15}+....+a^{2}+a+1$

Bài 1:
Ta có:
$x^4+y^4+z^4+t^4=4xyzt$
$\Leftrightarrow x^4-2x^2y^2+y^4+z^4-2z^2t^2+t^4+2x^2y^2-4xyzt+2z^2t^2=0$
$\Leftrightarrow (x^2-y^2)^2+(z^2-t^2)^2+2(xy-zt)^2=0$ $(*)$
Nên $x^2-y^2=0$ và $z^2-t^2=0$
$\Leftrightarrow x^2=y^2$ và $z^2=t^2$
Mà $x,$ $y,$ $z,$ $t$ là các số dương nên $x=y$ và $z=t$
Từ $(*)$ ta lại có:
$xy=zt$
$\Leftrightarrow x^2=z^2$
Mà $x,$ $z$ là các số dương nên $x=z$
Vậy $x=y=z=t.$

Spoiler

Bài này thì có liên quan gì đến phân tích đa thức thành nhân tử đâu nhỉ :-"

Bài 2:
Ta có:
$a^{50}+a^{49}+a^{48}+...+a^2+1=(1+...+a^{16})+(a^{17}+...+a^{33})+(a^{34}+...+a^{50})=$
$=(1+...+a^{16})(1+a^{17}+a^{34})$
Từ đó có đpcm.
_____________

Hoang Huy Thong là tay săn bài của mình hay sao ấy ?

@@ Mình theo dõi chủ đề, có ai post bài mới biết thì làm thôi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 01-02-2013 - 23:13

[Oral1020]

Cái bài một thì mình nghĩ là sài $AM-GM$ là ra ngay luôn.Đâu cần phải phân tích

[Zony Nguyen]

Một bài cực dễ :
Tính giá trị của biểu thức sau biết :
$x^{3}-x = 6$ . $A= x^{6}-2x^{4}+x^{3}+x^{2}-x$

[Zony Nguyen]

Cái bài một thì mình nghĩ là sài $AM-GM$ là ra ngay luôn.Đâu cần phải phân tích

Ừ ! Nói có sách mách có chứng ! Chém đi thử xem cách làm thế nào !

[Oral1020]

Ừ ! Nói có sách mách có chứng ! Chém đi thử xem cách làm thế nào !

Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ cho $4$ số,ta có:
$x^4+y^4+z^4+t^4 \ge 4\sqrt[4]{x^4y^4z^4t^4}=4xyzt$
$\Longrightarrow x^4+y^4+z^4+t^4 \ge 4xyzt$
Mà dấu bằng chỉ xảy ra khi $x=y=z=t$

[Oral1020]

Một bài cực dễ :
Tính giá trị của biểu thức sau biết :
$x^{3}-x = 6$ . $A= x^{6}-2x^{4}+x^{3}+x^{2}-x$

Dễ dàng phân tích được
$A= x^{6}-2x^{4}+x^{3}+x^{2}-x=(x^3-x)(x^3-x+1)$
Thay gt vào thì ta có $A=42$

[DarkBlood]

Làm mấy bài cho vui.
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n>1,$ số $A=n^4+a^n$ là một hợp số.
Bài 2: Cho số $A=\frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}.$ Chứng minh $A$ là hợp số.
Bài 3: Số $2^{32}+1$ có là số nguyên tố không?
Bài 4: Cho $a^2+b^2=1,$ $c^2+d^2=1,$ $ac+bd=0.$ Chứng minh rằng $ab+cd=0.$

[Pham Le Yen Nhi]

Bài 4: Ta có: $ab+cd=ab.1+cd.1=ab.(c^{2}+d^{2})+cd.(a^{2}+b^{2})$
$\Rightarrow ab+cd=abc^{2}+abd^{2}+cda^{2}+cdb^{2}$$
\Rightarrow ab+cd=ad(bd+ac)+bc(ac+bd)$
$\Rightarrow ab+cd=(ac+bd)(bc+ad)$
mà $ac+bd=0$
Vậy $ab+cd=0$

[Nguyen Duc Thuan]

Bài 2: Cho số $A=\frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}.$ Chứng minh $A$ là hợp số.

Đặt $5^{25}=a$ thế thì:
$A=\frac{a^5-1}{a-1}=a^4+a^3+a^2+a+1$
$=\left ( a^2+3a+1 \right )^2-5a(a+1)^2$
thay $a=5^{25}$ thì BT trên viết thành nhân tử (HĐT $a^2-b^2=(a+b)(a-b$) từ đó suy ra QED

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Duc Thuan: 02-02-2013 - 20:19

[4869msnssk]

Hình như đề bài câu 1 sai thì phải
có phải 3^{4}-4^{3}=17 không nhỉ
mà 17 là số nguyên tố nên suy ra đề bài sai

[DarkBlood]

Hình như đề bài câu 1 sai thì phải
có phải 3^{4}-4^{3}=17 không nhỉ
mà 17 là số nguyên tố nên suy ra đề bài sai

Xem lại đề đi bạn =="

[Oral1020]

Bài 3
Dễ dàng bằng C....A...S..,I...O ta tính được $2^{32}+1=4294967297 \vdots 641$ Vậy là hợp số

[Zony Nguyen]

Bài 3
Dễ dàng bằng C....A...S..,I...O ta tính được $2^{32}+1=4294967297 \vdots 641$ Vậy là hợp số

Ủa ! Cậu là thịnh đúng không lớp mấy mà đã Casio rồi !
bài 3 : $2^{23}+1 = 2^{2^{16}}+1$ chia hết cho $2^{2}+1$ = 5 . Vậy số này là hợp số ! Chắc vậy !

[4869msnssk]

bài 1 ý nếu thay a=5, n=2 thì sẽ là 41 không là hợp số
suy ra đề bài sai

[4869msnssk]

mà nếu bài 3 ý
cậu giải như vầy sai chớ
không thấy mt ra 4294967297 làm gì chia hết cho 5

[DarkBlood]

Làm mấy bài cho vui.
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n>1,$ số $A=n^4+4^n$ là một hợp số.
Bài 2: Cho số $A=\frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}.$ Chứng minh $A$ là hợp số.
Bài 3: Số $2^{32}+1$ có là số nguyên tố không?
Bài 4: Cho $a^2+b^2=1,$ $c^2+d^2=1,$ $ac+bd=0.$ Chứng minh rằng $ab+cd=0.$

Xin lỗi các bạn, mình sửa lại đề bài 1 như trên.
Còn bài 3 giải như sau: (Cách làm khá ảo)
Ta có: $2^{32}+1=(2^9+2^7+1)(2^{23}-2^{21}+2^{19}-2^{17}+2^{14}-2^{10}+2^{9}-2^{7}+1)$
Dễ thấy các biểu thức trong ngoặc đều lớn hơn $1$ nên $2^{32}+1$ là hợp số.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 09-02-2013 - 11:05

[4869msnssk]

Ta có: 232+1=(29+27+1)(223−221+219−217+214−210+29−27+1)
Dễ thấy các biểu thức trong ngoặc đều lớn hơn 1 nên 232+1 là hợp số.
tại sao lại có đẳng thức trên nhỉ

[ranna]

Mình mem mới nè! Góp vui một bài:
Chứng minh rằng nếu ${a^4} + {b^4} + {c^4} + {d^4} = 4abcd$ và a, b, c, d là các số dương thì a=b=c=d

[banhgaongonngon]

Mình mem mới nè! Góp vui một bài:
Chứng minh rằng nếu ${a^4} + {b^4} + {c^4} + {d^4} = 4abcd$ và a, b, c, d là các số dương thì a=b=c=d

Bạn xem bài của DUYNAM, #61 nhé

[ranna]

Mình không để ý kĩ, xin lỗi nha! Nhưng cho mình hỏi cái bài ${a^3} + {b^3} + {c^3} + 3abc$ phân tích như thế nào vậy?