Lâu giờ hơi bận nên chưa kịp post mọi người thông cảm:
III.Một so bài tập ứng dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử
Bài 1 : Cho ba số nguyên $x,y,z$ có tổng chia hết cho $6$
Chứng minh rằng biểu thức $M=(x+y)(y+z)(z+x)-2xyz$ chia hết cho 6
Bài 2: Cho đa thức $P=(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3$. Chứng minh rằng:
a) Nếu $P=0$ thì $(x^{11}+y^{11})(y^7+z^7)(z^{2001}+x^{2001})=0$
b)Nếu $x,y,z$ là các số nguyên cùng tính chẵn lẻ thì $P$ chia hết cho 8.
Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n$ ta có $n^{3}+5n$ chia hết cho 6.
Bài 4: Tính giá trị biểu thức $Q=\frac{x-y}{x+y}$ biết $x^2-2y^2=xy$ và hai số $y,x+y$ khác 0
Bài 5: Rút gọn biểu thức $R=\frac{3a^2-2ab-b^2}{2a^2+ab-b^2}:\frac{3a^2-4ab+b^2}{3a^2+2ab-b^2}$
Bài 6:Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cacnhj tam giác
Chứng minh rằng phương trình $b^2x^2+(b^2+c^2-a^2)x+c^2=0$ vô nghiệm
Bài 7: Tìm các số tự nhiên $n$ sao cho $n^2+2002$ là một số chính phương.
Bài 8: Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho $n^2-14n-256$ là một số chính phương.
Bài 9: Giải phương trình $x^4-24x^2-25=0$
Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử $A=x^4-5x^3+10x+4$
Áp dụng, giải phương trình $\frac{x^4+4}{x^2-2}=5x$
Bài 11: Giải phương trình $x^4-4x^3-19x^2+106x-120=0$
Bài 12: Giải phương trình $x^{4}+(x-1)(x^2-2x+2)=0$
Bài 13: Giải phương trình $x^4-2x^3+4x^2-3x-4=0$
Bài 14: Tìm tất cả các số nguyên dương $p>1$ sao cho phương trình sai có nghiệm duy nhất $x^3+px^2+(p-1+\frac{1}{p-1})x+1=0$
Bài 15: Chứng minh rằng $\sqrt[3]{70-\sqrt{4901}}+\sqrt[3]{70+\sqrt{4901}}=5$
Bai 16: Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^2-3xy+2y^2=0 & & \\ 2x^2-3xy+5=0 & & \end{matrix}\right.$
Bài 17: Giải bất phương trình $(x^2+4x+10)^2-7(x^2+4x+11)+7<0$
Sau đây là 1 đề nghị nhỏ của mình: Khi giải nhớ trích dẫn theo đề bài...
Bài 1 : Cho ba số nguyên $x,y,z$ có tổng chia hết cho $6$
Chứng minh rằng biểu thức $M=(x+y)(y+z)(z+x)-2xyz$ chia hết cho 6
---------
Nếu cả $3$ số $x,\ y,\ z$ đều không chia hết cho $2$ thì $x+y+z$ không chia hết cho $2$ (vô lý)
Ta có: $x+y+z\ \vdots\ 6\ \vdots\ 2$
Do đó trong ba số tồn tại một số chia hết cho $2$, suy ra $xyz\ \vdots\ 2.$
Ta có:
$M=(x+y)(y+z)(z+x)-2xyz=(x+y+z)(xy+yz+zx)-3xyz$
Vì $x+y+z\ \vdots\ 6$ và $xyz\ \vdots\ 2$ nên $M\ \vdots\ 6$
----------
Bài 2: Cho đa thức $P=(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3$. Chứng minh rằng:
a) Nếu $P=0$ thì $(x^{11}+y^{11})(y^7+z^7)(z^{2001}+x^{2001})=0$
b)Nếu $x,y,z$ là các số nguyên cùng tính chẵn lẻ thì $P$ chia hết cho 8.
-----------
Ta có: $P=3(x+y)(y+z)(z+x)$
$a)$ Nếu $P=0$ thì trong ba số $x,\ y,\ z$ tồn tại hai số đối nhau.
Do đó trong ba số $x^{11}+y^{11}\ ;\ y^7+z^7\ ;\ z^{2001}+x^{2001}$ tồn tại một số bằng $0$
Vậy $(x^{11}+y^{11})(y^7+z^7)(z^{2001}+x^{2001})=0$
$b)$ Nếu $x,\ y,\ z$ cùng tính chẵn lẻ thì 3 số $x+y\ ;\ y+z\ ;\ z+x$ đều chia hết cho $2$
Suy ra $(x+y)(y+z)(z+x)$ chia hết cho $8$
Vậy $P$ chia hết cho $8.$
----------
Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n$ ta có $n^{3}+5n$ chia hết cho 6.
----------
Ta có: $n^3+5n=n(n^2+5)$
Với $n\equiv 0\ (\bmod\ 2)$ thì $n^3+5n\equiv 0\ (\bmod\ 2)$
Với $n\equiv 1\ (\bmod\ 2)$ thì $n^2+5\equiv 6\equiv 0\ (\bmod\ 2)$ suy ra $n^3+5n\equiv 0\ (\bmod\ 2)$
Do đó $n^3+5n\ \vdots\ 2$ với mọi $n\in \mathbb{Z}$
Với $n\equiv 0\ (\bmod\ 3)$ thì $n^3+5n\equiv 0\ (\bmod\ 3)$
Với $n\equiv \pm\ 1\ (\bmod\ 3)$ thì $n^2+5\equiv 6\equiv 0\ (\bmod\ 3)$ suy ra $n^3+5n\equiv 0\ (\bmod\ 3)$
Do đó $n^3+5n\ \vdots\ 3$ với mọi $n\in \mathbb{Z}$
Mà $(2\ ;\ 3)=1$ nên $n^3+5n\ \vdots\ 2\ .\ 3=6$ với mọi $n\in \mathbb{Z}$
----------
Bài 4: Tính giá trị biểu thức $Q=\frac{x-y}{x+y}$ biết $x^2-2y^2=xy$ và hai số $y,x+y$ khác 0
----------
Ta có: $x^2-2y^2=xy\ \Leftrightarrow\ x^2-xy-2y^2=0\ \Leftrightarrow\ (x+y)(x-2y)=0\ \Leftrightarrow\ x=2y$ $($vì $x+y$ khác $0)$
Thay vào tính được Q.
--------------
Bài 5: Rút gọn biểu thức $R=\frac{3a^2-2ab-b^2}{2a^2+ab-b^2}:\frac{3a^2-4ab+b^2}{3a^2+2ab-b^2}$
--------------
Ta có: $R=\dfrac{(a-b)(3a+b)}{(2a-b)(a+b)}\ \cdot\ \dfrac{(3a-b)(a+b)}{(a-b)(3a-b)}=\dfrac{3a+b}{2a-b}$
--------------
Bài 6:Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cacnhj tam giác
Chứng minh rằng phương trình $b^2x^2+(b^2+c^2-a^2)x+c^2=0$ vô nghiệm
--------------
Ta có: $\begin{aligned} \Delta&=(b^2+c^2-a^2)^2-4b^2c^2\\& =(b^2-2bc+c^2-a^2)(b^2+2bc+c^2-a^2)\\&=(b-c-a)(b-c+a)(b+c-a)(b+c+a) \end{aligned}$
Vì $a,\ b,\ c$ là ba cạnh của một tam giác nên $(b-c-a)(b-c+a)(b+c-a)(b+c+a)<0$ do đó $\Delta<0$
Vậy phương trình vô nghiệm.
---------------
Bài 7: Tìm các số tự nhiên $n$ sao cho $n^2+2002$ là một số chính phương.
---------------
Đặt $n^2+2002=k^2,$ suy ra $(k-n)(k+n)=2002$
Tới đây xét ước. (chú ý $k-n$ và $k+n$ cùng tính chẵn lẻ)
Cách khác: $n^2\equiv0\ ;\ 1\ (\bmod\ 4)\Rightarrow n^2+2002\equiv 2\ ;\ 3\ (\bmod\ 4),$ không là số chính phương.
---------------
Bài 8: Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho $n^2-14n-256$ là một số chính phương.
---------------
Đặt $n^2-14n-256=k^2$
Suy ra $(n-7)^2-305=k^2$
$\Leftrightarrow (n-k-7)(n+k-7)=305$
Tới đây xét ước.
---------------
Bài 9: Giải phương trình $x^4-24x^2-25=0$
---------------
$x^4-24x^2-25=0$
$\Leftrightarrow (x-5)(x+5)(x^2+1)=0$
$\cdots$
---------------
Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử $A=x^4-5x^3+10x+4$
Áp dụng, giải phương trình $\frac{x^4+4}{x^2-2}=5x$
---------------
$A=(x-sqrt{6}-2) (x-2) (x+1) (x+sqrt{6}-2)$
---------------
Bài 11: Giải phương trình $x^4-4x^3-19x^2+106x-120=0$
---------------
$PT \Leftrightarrow (x-4) (x-3) (x-2) (x+5) = 0$
---------------
Bài 12: Giải phương trình $x^{4}+(x-1)(x^2-2x+2)=0$
---------------
$PT \Leftrightarrow (x^2-x+1) (x^2+2 x-2) = 0$
---------------
Bài 13: Giải phương trình $x^4-2x^3+4x^2-3x-4=0$
---------------
$PT \Leftrightarrow (x^2-x-1) (x^2-x+4) = 0$
----------------
Bài 15: Chứng minh rằng $\sqrt[3]{70-\sqrt{4901}}+\sqrt[3]{70+\sqrt{4901}}=5$
----------------
Đặt $A=\sqrt[3]{70-\sqrt{4901}}+\sqrt[3]{70+\sqrt{4901}}$
Ta có: $A^3=70-\sqrt{4901}+70+\sqrt{4901}+3\sqrt[3]{70^2-4901}\ .\ A=140-3A$
$\Leftrightarrow A^3+3A-140=0$
$\Leftrightarrow (A-5) (A^2+5 A+28) = 0$
Vậy $A=5$
--------------
Bai 16: Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^2-3xy+2y^2=0 & & \\ 2x^2-3xy+5=0 & & \end{matrix}\right.$
--------------
Từ phương trình đầu, ta có: $x=2y$ hoặc $x=y$
Trường hợp 1: $x=2y$
Khi đó $PT(2)\Leftrightarrow 2y^2=-5$ $($vô lý$)$
Trường hợp 2: $x=y$
Khi đó $PT(2)\Leftrightarrow y^2=5 \Leftrightarrow x=y=\pm\ 5$
--------------
Bài 17: Giải bất phương trình $(x^2+4x+10)^2-7(x^2+4x+11)+7<0$
--------------
Đặt $x^2+4x+10=a$
Phương trình đã cho trở thành:
$a^2-7(a+1)+7<0\Leftrightarrow a(a-7)<0\Leftrightarrow 0<a<7\Leftrightarrow 0<x^2+4x+10<7$
$\bullet$ $x^2+4x+10>0\Leftrightarrow (x+2)^2>-6,$ đúng với mọi $x$
$\bullet$ $x^2+4x+10<7\Leftrightarrow (x+1)(x+3)<0\Leftrightarrow -3<x<-1$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left \{\ \ x\ \mid \ -3<x<-1\ \ \right \}$
)
