Chủ đề này có 4 trả lời

[9ainmyheart]

1..$3\left ( x-2 \right )\sqrt{x^{2}+1}=x^{2}+x-6$

2..$\sqrt{x^{2}+\sqrt{2x^{2}-1}}-\sqrt{x^{2}-\sqrt{2x^{2}-1}}=2\sqrt{x}+2$

3..$2x^{2} +\sqrt{\frac{1}{2}+x\sqrt{1-x^{2}}}=1$

4. $\sqrt{2-x^{2}}+\sqrt{2-\frac{1}{x^{2}}}=4-\left ( x+\frac{1}{x} \right )$



MOD: Chú ý đặt tiêu đề bài viết bạn nhé....

Mai Đức Khải....

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mai Duc Khai: 05-02-2013 - 21:08

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải

Câu 1:
a, Phương tình tương đương:
$3(x - 2)\sqrt{x^2 + 1} = (x - 2)(x + 3)$

$\Leftrightarrow (x - 2)(x + 3 - 3\sqrt{x^2 + 1}) = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x = 2\\x + 3 = 3\sqrt{x^2 + 1} \, (1)\end{matrix}\right.$

Phương trình (1) tương đương:
$\left\{\begin{matrix}x \geq -3\\ x^2 + 6x + 9 = 9(x^2 + 1)\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}x \geq -3\\\left[\begin{matrix}x = 0 ™\\x = \dfrac{3}{4} ™\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$

Kết luận: Phương trình có tập nghiệm:
$$S = \{ 0; \dfrac{3}{4}; 2 \}$$

Câu 2. $\sqrt{x^{2}+\sqrt{2x^{2}-1}}-\sqrt{x^{2}-\sqrt{2x^{2}-1}}=\sqrt{2}x+2$

Giải

ĐK: $\left\{\begin{matrix}x^2 \geq \dfrac{1}{2}\\x^2 \geq \sqrt{2x^2 - 1}\end{matrix}\right.$

Phương trình tương đương:
$\sqrt{2x^2 + 2\sqrt{2x^2 - 1}} - \sqrt{2x^2 - 2\sqrt{2x^2 - 1}} = 2x + 2\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow \sqrt{(\sqrt{2x^2 - 1} + 1)^2} - \sqrt{(\sqrt{2x^2 - 1} - 1)^2} = 2x + 2\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow \sqrt{2x^2 - 1} + 1 - |\sqrt{2x^2 - 1} - 1| = 2x + 2\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}\sqrt{2x^2 - 1} \geq 1\\ \sqrt{2x^2 - 1} + 1 - (\sqrt{2x^2 - 1} - 1) = 2x + 2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}\sqrt{2x^2 - 1} < 1\\ \sqrt{2x^2 - 1} + 1 + (\sqrt{2x^2 - 1} - 1) = 2x + 2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x^2 \geq 1\\ 1 = x + \sqrt{2}\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x^2 < 1\\ \sqrt{2x^2 - 1} = x + \sqrt{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x^2 \geq 1\\ x = 1 - \sqrt{2}\end{matrix}\right. (VN)\\\left\{\begin{matrix}x^2 < 1\\ x \geq - \sqrt{2}\\x^2 - 2\sqrt{2}x - 3 = 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^2 < 1\\ x \geq - \sqrt{2}\\x = \sqrt{2} \pm \sqrt{5}\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x = \sqrt{2} - \sqrt{5} ™$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 30-12-2012 - 13:31

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Câu 3. Giải phương trình:
$$2x^{2}+\sqrt{\frac{1}{2}+x\sqrt{1-x^{2}}}=1$$

Giải

ĐK:
$\left\{\begin{matrix}x^2 \leq 1\\x\sqrt{1-x^2} \geq \dfrac{-1}{2}\end{matrix}\right.$

Phương trình tương đương:

$2x^2 - 1 + \dfrac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{(x + \sqrt{1 - x^2})^2} = 0$

$\Leftrightarrow x^2 - (1 - x^2) + \dfrac{|x + \sqrt{1 - x^2}|}{\sqrt{2}} = 0$

$\Leftrightarrow (x - \sqrt{1 - x^2})(x + \sqrt{1 - x^2}) + \dfrac{|x + \sqrt{1 - x^2}|}{\sqrt{2}}= 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x + \sqrt{1 - x^2} = 0\\ \left\{\begin{matrix}x + \sqrt{1 - x^2} > 0\\ x - \sqrt{1 - x^2} + \dfrac{1}{\sqrt{2}} = 0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x + \sqrt{1 - x^2} < 0\\ x - \sqrt{1 - x^2} - \dfrac{1}{\sqrt{2}} = 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x = \dfrac{- 1}{\sqrt{2}}\\ \left\{\begin{matrix}x + \sqrt{1 - x^2} > 0\\ \sqrt{2}x + 1 = \sqrt{2(1 - x^2)}\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x + \sqrt{1 - x^2} < 0\\ \sqrt{2}x - 1 = \sqrt{2(1 - x^2)}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x = \dfrac{- 1}{\sqrt{2}}\\ \left\{\begin{matrix}x + \sqrt{1 - x^2} > 0\\ x \geq \dfrac{-1}{\sqrt{2}}\\4x^2 + 2\sqrt{2}x - 1 = 0\end{matrix}\right.\\ \, \\ \left\{\begin{matrix}x + \sqrt{1 - x^2} < 0\\ x \geq \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \sqrt{2}x - 1= \sqrt{2(1 - x^2)}\end{matrix}\right. \, (VN)\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x = \dfrac{- 1}{\sqrt{2}}\\ \left\{\begin{matrix}x + \sqrt{1 - x^2} > 0\\ x \geq \dfrac{-1}{\sqrt{2}}\\x = \dfrac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{6}}{4}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \, ™$

[thanhducmath]

4. $\sqrt{2-x^{2}}+\sqrt{2-\frac{1}{x^{2}}}=4-\left ( x+\frac{1}{x} \right )$

Chuyển vế ta có $ \sqrt{2-x^2}+x+\sqrt{2-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}= 4$
sử dụng BĐT bunhiacovski ta có
$\left ( \sqrt{2-x}+x \right )^{2}\leq 4$

$\Rightarrow $$\sqrt{2-x}+x \leq 2$
tương tự có
$\sqrt{2-\frac{1}{x^{2}}}+\frac{1}{x}\leq 2$
cộng lại thì ta được dạng BĐT của PT
Dấu bằng xảy ra khi x=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mai Duc Khai: 05-02-2013 - 21:10

[longqnh]

3..$2x^{2} +\sqrt{\frac{1}{2}+x\sqrt{1-x^{2}}}=1$

Đk: $x \in [-1,1]$
Đặt $x=cost$
pt $\Longleftrightarrow \sqrt{\frac{1}{2}(1+sin2t)}=-cos2t$
$\Rightarrow 2sin^22t+sin2t-1=0$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} t=-\frac{\pi}{12}\\t=-\frac{5\pi}{12} \\t=-\frac{\pi}{4} \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
x=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\\x=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}
\\ x=-\frac{\sqrt{2}}{2}

\end{matrix}\right.$
Thử lại, nhận $x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ và $x=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi longqnh: 09-02-2013 - 16:43