Chủ đề này có 2 trả lời

[whiterose96]

Cho $n \in \mathbb{Z^{+}}$, gọi $a_{4n-6}$ là hệ số của $x^{4n-6}$ trong khai triển thành đa thức của $(x+3)^{n}(2x^{3}+1)^{n}$. Tìm $n$ biết $2a_{4n-6}=435n^{2}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 30-12-2012 - 12:53

[dark templar]

Cho $n \in \mathbb{Z^{+}}$, gọi $a_{4n-6}$ là hệ số của $x^{4n-6}$ trong khai triển thành đa thức của $(x+3)^{n}(2x^{3}+1)^{n}$. Tìm $n$ biết $2a_{4n-6}=435n^{2}$.

Tư tưởng chính để giải bài này vẫn là quy tắc nhân đa thức
Xét khai triển bằng Nhị thức Newton của $(x+3)^{n}(2x^3+1)^{n}$ là :
$$(x+3)^{n}(2x^3+1)^{n}=\left[\sum_{k=0}^{n}3^{n-k}\binom{n}{k}x^{k} \right]\left[\sum_{k=0}^{n}2^{k}\binom{n}{k}x^{3k} \right]$$
Ta gọi $c_{k};b_{k}$ lần lượt là hệ số của $x^{k}$ trong khai triển $(x+3)^{n}$ và $(2x^3+1)^{n}$.
Dễ dàng nhận thấy :

• $c_{k}$ với $k=\overline{0;n}$.
• $b_{k}$ với $k=\overline{0;3n}$.

Ta có 1 nhận xét nhỏ sau :

• $b_{3m}=2^{m}\binom{n}{m}$ với $m=\overline{0;n}$.
• $b_{3m+1}=b_{3m+2}=0$ với $m=\overline{0;n-1}$.

Giờ thì hệ số $a_{4n-6}$ sẽ là tổng của :
$$a_{4n-6}=\sum_{k=0}^{4n-6}c_{k}b_{4n-6-k}=\sum_{k=0}^{n}c_{k}b_{4n-6-k}$$
Để ý rằng hệ số $b_{k}$ chỉ bao gồm $b_1;b_2;..;b_{3n}$ và nhận xét nhỏ ở trên,do đó :
$$a_{4n-6}=\sum_{k=n-6}^{n}c_{k}b_{4n-6-k}=b_{3n}c_{n-6}+b_{3n-3}c_{n-3}+b_{3n-6}c_{n}$$
Kết hợp với giả thuyết ở trên,ta thu được :
$$435n^2=2^{n}.3^{6}\binom{n}{n-6}+2^{n-1}\binom{n}{n-1}.3^{3}\binom{n}{n-3}+2^{n-2}\binom{n}{n-2}$$
Phương trình này ra hơi khủng nên .....

P.s:Sẽ giải tiếp bằng đạo hàm

[hxthanh]

Cho $n \in \mathbb{Z^{+}}$, gọi $a_{4n-6}$ là hệ số của $x^{4n-6}$ trong khai triển thành đa thức của $(x+3)^{n}(2x^{3}+1)^{n}$. Tìm $n$ biết $2a_{4n-6}=435n^{2}$.

Chém "bừa" bài này!
Ta có:
$(3+x)^n(1+2x^3)^n=\sum_{j=0}^n{n\choose j}3^{n-j}x^j\sum_{k=0}^n{n\choose k}2^kx^{3k}$
$\quad=\sum_{j=0}^n\sum_{k=0}^n{n\choose j}{n\choose k}3^{n-j}2^kx^{3k+j}$
$\quad=\sum_{j=0}^n\sum_{k=0}^n{n\choose n-j}{n\choose n-k}3^{n-j}2^kx^{3k+j}$
Như vậy hệ số của $x^{4n-6}$ tương ứng với các số hạng thoả mãn phương trình nghiệm nguyên (không âm)
$3k+j=4n-6\Rightarrow n-j=3k-3n+6\ge 0$
Suy ra: $n-2\le k\le n$
Vậy có ba số hạng tương ứng với $k=n-2, k=n-1, k=n$

$\Rightarrow a_{4n-6}={n\choose 0}{n\choose 2}2^{n-2}+{n\choose 3}{n\choose 1}3^32^{n-1}+{n\choose 6}{n\choose 0}3^62^n$

Theo giả thiết ta suy ra được phương trình nghiệm nguyên dương khủng khiếp sau:

$n(n-1)2^{n-3}\left[2+36(n-2)+\tfrac{81}{5}(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)\right]=435n^2$
$\Rightarrow (n-1)2^{n-3}\left[36n-70+\tfrac{81}{5}(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)\right]=435n$
(do $n$ nguyên dương)
Có lẽ phải chứng minh phương trình trên vô nghiệm nguyên dương