Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Tìm $n$ biết $2a_{4n-6}=435n^{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 whiterose96

whiterose96

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 30-12-2012 - 12:38

Cho $n \in \mathbb{Z^{+}}$, gọi $a_{4n-6}$ là hệ số của $x^{4n-6}$ trong khai triển thành đa thức của $(x+3)^{n}(2x^{3}+1)^{n}$. Tìm $n$ biết $2a_{4n-6}=435n^{2}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 30-12-2012 - 12:53

Hình đã gửi


#2 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 12-01-2013 - 20:04

Cho $n \in \mathbb{Z^{+}}$, gọi $a_{4n-6}$ là hệ số của $x^{4n-6}$ trong khai triển thành đa thức của $(x+3)^{n}(2x^{3}+1)^{n}$. Tìm $n$ biết $2a_{4n-6}=435n^{2}$.

Tư tưởng chính để giải bài này vẫn là quy tắc nhân đa thức :)
Xét khai triển bằng Nhị thức Newton của $(x+3)^{n}(2x^3+1)^{n}$ là :
$$(x+3)^{n}(2x^3+1)^{n}=\left[\sum_{k=0}^{n}3^{n-k}\binom{n}{k}x^{k} \right]\left[\sum_{k=0}^{n}2^{k}\binom{n}{k}x^{3k} \right]$$
Ta gọi $c_{k};b_{k}$ lần lượt là hệ số của $x^{k}$ trong khai triển $(x+3)^{n}$ và $(2x^3+1)^{n}$.
Dễ dàng nhận thấy :
  • $c_{k}$ với $k=\overline{0;n}$.
  • $b_{k}$ với $k=\overline{0;3n}$.
Ta có 1 nhận xét nhỏ sau :
  • $b_{3m}=2^{m}\binom{n}{m}$ với $m=\overline{0;n}$.
  • $b_{3m+1}=b_{3m+2}=0$ với $m=\overline{0;n-1}$.
Giờ thì hệ số $a_{4n-6}$ sẽ là tổng của :
$$a_{4n-6}=\sum_{k=0}^{4n-6}c_{k}b_{4n-6-k}=\sum_{k=0}^{n}c_{k}b_{4n-6-k}$$
Để ý rằng hệ số $b_{k}$ chỉ bao gồm $b_1;b_2;..;b_{3n}$ và nhận xét nhỏ ở trên,do đó :
$$a_{4n-6}=\sum_{k=n-6}^{n}c_{k}b_{4n-6-k}=b_{3n}c_{n-6}+b_{3n-3}c_{n-3}+b_{3n-6}c_{n}$$
Kết hợp với giả thuyết ở trên,ta thu được :
$$435n^2=2^{n}.3^{6}\binom{n}{n-6}+2^{n-1}\binom{n}{n-1}.3^{3}\binom{n}{n-3}+2^{n-2}\binom{n}{n-2}$$
Phương trình này ra hơi khủng nên .....

P.s:Sẽ giải tiếp bằng đạo hàm :P
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#3 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3327 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-01-2013 - 20:07

Cho $n \in \mathbb{Z^{+}}$, gọi $a_{4n-6}$ là hệ số của $x^{4n-6}$ trong khai triển thành đa thức của $(x+3)^{n}(2x^{3}+1)^{n}$. Tìm $n$ biết $2a_{4n-6}=435n^{2}$.

Chém "bừa" bài này!
Ta có:
$(3+x)^n(1+2x^3)^n=\sum_{j=0}^n{n\choose j}3^{n-j}x^j\sum_{k=0}^n{n\choose k}2^kx^{3k}$
$\quad=\sum_{j=0}^n\sum_{k=0}^n{n\choose j}{n\choose k}3^{n-j}2^kx^{3k+j}$
$\quad=\sum_{j=0}^n\sum_{k=0}^n{n\choose n-j}{n\choose n-k}3^{n-j}2^kx^{3k+j}$
Như vậy hệ số của $x^{4n-6}$ tương ứng với các số hạng thoả mãn phương trình nghiệm nguyên (không âm)
$3k+j=4n-6\Rightarrow n-j=3k-3n+6\ge 0$
Suy ra: $n-2\le k\le n$
Vậy có ba số hạng tương ứng với $k=n-2, k=n-1, k=n$

$\Rightarrow a_{4n-6}={n\choose 0}{n\choose 2}2^{n-2}+{n\choose 3}{n\choose 1}3^32^{n-1}+{n\choose 6}{n\choose 0}3^62^n$

Theo giả thiết ta suy ra được phương trình nghiệm nguyên dương khủng khiếp sau:

$n(n-1)2^{n-3}\left[2+36(n-2)+\tfrac{81}{5}(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)\right]=435n^2$
$\Rightarrow (n-1)2^{n-3}\left[36n-70+\tfrac{81}{5}(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)\right]=435n$
(do $n$ nguyên dương)
Có lẽ phải chứng minh phương trình trên vô nghiệm nguyên dương :closedeyes:
Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh