Chủ đề này có 2 trả lời

[MyLoVeForYouNMT]

Tìm a để hệ sau đây có đúng 4 nghiệm
\[\left\{\begin{matrix}
1-\sqrt{|x-1|}=\sqrt{7|y|} & \\
49y^2+x^2+4a=2x-1 &
\end{matrix}\right.\]

[perfectstrong]

Nhận xét: Nếu hệ có nghiệm $(x;y)$ thì cũng có nghiệm $(x;-y);(2-x;y);(2-x;-y)$.
Do đó, chỉ cần tìm $a$ để ít nhất 2 trong 4 nghiệm trên trùng nhau rồi loại đi tất cả các TH đó.

[hoangtrong2305]

Tìm a để hệ sau đây có đúng 4 nghiệm
\[\left\{\begin{matrix}
1-\sqrt{|x-1|}=\sqrt{7|y|} & \\
49y^2+x^2+4a=2x-1 &
\end{matrix}\right.\]

$\left\{\begin{matrix} 1-\sqrt{|x-1|}=\sqrt{7|y|} & \\ 49y^2+x^2+4a=2x-1 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{7|y|}+\sqrt{|x-1|}=1 & \\ 49y^{2}+(x-1)^{2}= -4a& \end{matrix}\right.$

Dễ thấy $a \leq 0$, đặt $b=\sqrt{7|y|};c=\sqrt{|x-1|};b,c \geq 0$,hệ thành:

$\left\{\begin{matrix} b+c=1\\ b^{4}+c^{4}=-4a \end{matrix}\right.$

Nhận xét: nếu như hệ này có 2 nghiệm $b;c$ thì hệ ban đầu sẽ có 4 nghiệm là

$(1+c^{2};\frac{b^{2}}{7});(1-c^{2};\frac{b^{2}}{7});(1+c^{2};-\frac{b^{2}}{7});(1-c^{2};-\frac{b^{2}}{7})$

Để điều này xảy ra thì $\left\{\begin{matrix} \frac{b^{2}}{7}\neq -\frac{b^{2}}{7}\\ 1+c^{2}\neq 1-c^{2} \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow b,c> 0$

$\left\{\begin{matrix} b+c=1\\ b^{4}+c^{4}=-4a \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b+c=1\\ [(b+c)^{2}-2bc]^{2}-2b^{2}c^{2}=-4a \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b+c=1\\ (1-2bc)^{2}-2b^{2}c^{2}=-4a \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b+c=1\\ 2b^{2}c^{2}-4bc+1+4a=0 (1) \end{matrix}\right.$

Nhận xét: Do $b>0;c > 0$ và $b+c=1>0$ nên để hệ của đề có $4$ nghiệm thì $bc > 0$

Áp dụng $Viete$, ta thấy tổng 2 nghiệm phương trình $(1)>0$ nên phương trình $(1)$ nếu có nghiệm thì phải có tối thiểu 1 nghiệm dương, vì vậy ta chỉ cần đặt điều kiện cho $(1)$ có nghiệm, tức $\Delta\geq 0 \Leftrightarrow 6-8a\geq 0\Leftrightarrow a\leq \frac{3}{4}$

Do $a \leq 0$ nên tóm lại, để hệ thỏa yêu cầu đề thì $a \leq 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 31-12-2012 - 13:35