Đến nội dung


Chú ý

Diễn đàn vừa được bảo trì và nâng cấp nên có thể sẽ hoạt động không ổn định. Các bạn vui lòng thông báo lỗi cho BQT tại chủ đề này.


Hình ảnh

Chứng minh $\mathop{\lim}\limits_{n\to +\infty }\sum\limits_{k = 0}^n {{a_k}\cos\frac{k\pi }{n}=a}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2926 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 31-12-2012 - 11:27

Cho dãy số $(a_n)$ thỏa $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{k = 0}^n {{a_k} = a \in \mathbb{R}} $. Chứng minh \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{k = 0}^n {{a_k}\cos \frac{{k\pi }}{n} = a} \]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 31-12-2012 - 11:31

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#2 vanchanh123

vanchanh123

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1314 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:cù lao
  • Sở thích:~.*

Đã gửi 14-01-2017 - 20:55

Cho dãy số $(a_n)$ thỏa $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{k = 0}^n {{a_k} = a \in \mathbb{R}} $. Chứng minh \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{k = 0}^n {{a_k}\cos \frac{{k\pi }}{n} = a} \]

 

 
Với mỗi $N\in \mathbb{N}$, đặt $A_N= \sum_{n=1}^N a_n$ và $b_k =\cos \frac{{k\pi }}{N} \forall k=0, 1, ..., N$, và $S_N=\sum_{n=1}^N a_nb_n.$
 
Khi đó dùng tổng Abel, ta có
$S_N= b_NA_N- \sum_{n=0}^{N-1} A_n(b_{n+1}-b_n)$
      $= b_NA_N- \sum_{n=0}^{N-1} (A_n-a)(b_{n+1}-b_n)-a\sum_{n=0}^{N-1}(b_{n+1}-b_n).$
 
 
Nhận xét: Dùng định lý Lagrange
$$\left|b_{n+1}-b_n\right| =\frac{\pi}{N} |\sin \left( \zeta/N\right)| \le \frac{(n+1)\pi}{N^2}\le \frac{\pi}{N}.$$
Do đó
$$ \left|S_N+ A_N-2a\right| \le \sum_{n=0}^{N-1} |A_n-a||(b_{n+1}-b_n)| \le \frac{\pi}{N}\sum_{n=0}^{N-1} |A_n-a|.$$
 
Vì $\lim_{m\to\infty} |A_m -a|=0$ nên theo định lý Cesaro $\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} |A_n-a|=0.$
 
Suy ra $\lim\limits_{N\to \infty} S_N=a.$

Đời người là một hành trình...





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh