Đến nội dung


Thông báo

Thời gian vừa qua do diễn đàn gặp một số vấn đề về kĩ thuật nên thỉnh thoảng không truy cập được, mong các bạn thông cảm. Hiện nay vấn đề này đã được giải quyết triệt để. Nếu các bạn gặp lỗi trong lúc sử dụng diễn đàn, xin vui lòng thông báo cho Ban Quản Trị.


Hình ảnh

Chứng minh $\mathop{\lim}\limits_{n\to +\infty }\sum\limits_{k = 0}^n {{a_k}\cos\frac{k\pi }{n}=a}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2933 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 31-12-2012 - 11:27

Cho dãy số $(a_n)$ thỏa $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{k = 0}^n {{a_k} = a \in \mathbb{R}} $. Chứng minh \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{k = 0}^n {{a_k}\cos \frac{{k\pi }}{n} = a} \]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 31-12-2012 - 11:31

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#2 An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1626 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:cù lao
  • Sở thích:~.*

Đã gửi 14-01-2017 - 20:55

Cho dãy số $(a_n)$ thỏa $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{k = 0}^n {{a_k} = a \in \mathbb{R}} $. Chứng minh \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{k = 0}^n {{a_k}\cos \frac{{k\pi }}{n} = a} \]

 

 
Với mỗi $N\in \mathbb{N}$, đặt $A_N= \sum_{n=1}^N a_n$ và $b_k =\cos \frac{{k\pi }}{N} \forall k=0, 1, ..., N$, và $S_N=\sum_{n=1}^N a_nb_n.$
 
Khi đó dùng tổng Abel, ta có
$S_N= b_NA_N- \sum_{n=0}^{N-1} A_n(b_{n+1}-b_n)$
      $= b_NA_N- \sum_{n=0}^{N-1} (A_n-a)(b_{n+1}-b_n)-a\sum_{n=0}^{N-1}(b_{n+1}-b_n).$
 
 
Nhận xét: Dùng định lý Lagrange
$$\left|b_{n+1}-b_n\right| =\frac{\pi}{N} |\sin \left( \zeta/N\right)| \le \frac{(n+1)\pi}{N^2}\le \frac{\pi}{N}.$$
Do đó
$$ \left|S_N+ A_N-2a\right| \le \sum_{n=0}^{N-1} |A_n-a||(b_{n+1}-b_n)| \le \frac{\pi}{N}\sum_{n=0}^{N-1} |A_n-a|.$$
 
Vì $\lim_{m\to\infty} |A_m -a|=0$ nên theo định lý Cesaro $\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} |A_n-a|=0.$
 
Suy ra $\lim\limits_{N\to \infty} S_N=a.$

Đời người là một hành trình...





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh