Chủ đề này có 8 trả lời

[thangnhoc9x]

Chứng minh rằng :
$\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}$ $\in$ $\mathbb{I}$ ($\mathbb{I}$ là tập hợp các số vô tỉ)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 01-01-2013 - 14:03

[Oral1020]

Bổ đề:
$\sqrt{a}$ nếu a không phải là số chính phương thì $\sqrt{a}$ là số vô tỉ
Giả sử $\sqrt{a}=\dfrac{m}{n}$(là một số hữu tỉ)
$\Longleftrightarrow a=\dfrac{m^2}{n^2}$
$\Longleftrightarrow n^2a=m^2$
Vì $an^2$ phải là một số chính phương.Mà $n^2$ là một số chính phương
$\Longleftrightarrow an^2 \not{=} m^2$(vì a không phải là số chính phương)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 01-01-2013 - 13:13

[banhgaongonngon]

cm
$\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$ la so vo ti

Ta chứng minh $\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}$ là các số vô tỉ.
Thật vậy, giả sử $\sqrt{2}$ là số hữu tỉ.
Đặt $\sqrt{2}=\frac{a}{b}\left ( a,b\in \mathbb{Z},b\neq 0,(|a|,|b|)=1 \right )$
Khi đó $\frac{a^{2}}{b^{2}}=2\Rightarrow a^{2}=2b^{2}$ $(*)$ $\Rightarrow a^{2}\vdots 2\Rightarrow a\vdots 2$
Do đó $a=2k(k\in \mathbb{Z})$. Thay vào $(*)$ ta được $4k^{2}=2b^{2}\Rightarrow b^{2}=2k^{2}\Rightarrow b\vdots 2$
Vì $\left\{\begin{matrix} a\vdots 2\\ b\vdots 2 \end{matrix}\right.$ mâu thuẫn với điều kiện $\left ( |a|,|b| \right )=1$ nên giả sử là sai.
Vậy $\sqrt{2}$ là số vô tỉ. Tương tự $\sqrt{3},\sqrt{5}$ là số vô tỉ.
Tổng của hai số vô tỉ là một số vô tỉ nên $\sqrt{2}+\sqrt{3}=u$ với $u$ là số vô tỉ.
Suy ra $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}=u+\sqrt{5}$ là một số vô tỉ.
Ta được đpcm

[minhtuyb]

Tổng của hai số vô tỉ là một số vô tỉ

Bài cậu đúng rồi nhưng chú ý là mệnh đề trên là một mệnh đề sai nhé. Vd: $1+2\sqrt{2}$và $-2\sqrt{2}$ là hai số vô tỉ nhưng tổng của chúng lại là một số hữu tỉ.

Mệnh đề đúng là: Tổng của hai số vô tỉ không đồng dạng là một số vô tỉ

[banhgaongonngon]

Bài cậu đúng rồi nhưng chú ý là mệnh đề trên là một mệnh đề sai nhé. Vd: $1+2\sqrt{2}$và $-2\sqrt{2}$ là hai số vô tỉ nhưng tổng của chúng lại là một số hữu tỉ.

Mệnh đề đúng là: Tổng của hai số vô tỉ không đồng dạng là một số vô tỉ

Ừm. Cảm ơn nhé.

[prince123456]

giả sử $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$ là một số hữu tỷ.
nên $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$ = b ( b là một số huũu tỷ).
$\sqrt{2}+\sqrt{3}= b- \sqrt{5}$.
$5+2\sqrt{6}=b^2+5-2b.\sqrt{5}$.
$b^2 : 2 = \sqrt{6} + b.\sqrt{5}$.
$b^4 : 4= 6+5b^2+2b.\sqrt{30}$.
$\sqrt{30}= (b^4:4 -5b^2-6): ( 2b)$ , là một số hữu tỷ,mâu thuẫn >> điều giả sử sai

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MIM: 16-02-2013 - 20:51

[dorabesu]

Giả sử $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$ là một số hữu tỷ.
nên $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$ = b ( b là một số hữu tỷ).
$\sqrt{2}+\sqrt{3}=b-\sqrt{5}$
$5+2\sqrt{6}=b^2+5-2b\sqrt{5}$
$b^2=2\sqrt{6}+2b\sqrt{5}$
$b^4=24+20b^2+8b\sqrt{30}$.
$\sqrt{30}=\frac{b^4-20b^2-24}{8b}$, là một số hữu tỷ (vô lý vì $30$ không phải số CP )
Vậy ...

Như này ạ?

[prince123456]

chắc là vậy, cứ biến đổi theo hướng đấy là ra,like nha

[mrjackass]

Bài cậu đúng rồi nhưng chú ý là mệnh đề trên là một mệnh đề sai nhé. Vd: $1+2\sqrt{2}$và $-2\sqrt{2}$ là hai số vô tỉ nhưng tổng của chúng lại là một số hữu tỉ.

Mệnh đề đúng là: Tổng của hai số vô tỉ không đồng dạng là một số vô tỉ

Nhờ bác định nghĩa hộ số vô tỉ không đồng dạng???