Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi OLP toán sinh viên cấp trường đh Kinh tế quốc dân 2013


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 11 trả lời

#1
Draconid

Draconid

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 46 Bài viết
Đề thi OLP toán sinh viên cấp trường đh Kinh tế quốc dân 2013

Câu 1: Cho dãy số $\left \{ u_{n} \right \}$ xác định như sau $u_{1}= \sqrt{2}$ ; $u_{n+1}=u_{n} + \frac{u_{n^{2}}}{2011\sqrt{2}}$ $\forall n=1,2,...$

Tìm $\lim_{n\rightarrow \infty }$ $(\frac{u_{1}}{u_{2}}+\frac{u_{2}}{u_{3}}+...+\frac{u_{n}}{u_{n+1}})$

Câu 2: Cho f : [0,1] $\rightarrow$ [0,1] là hàm số liên tục sao cho f(0)=0; f(1)=1
Đặt $f_{k}= \overset{\underbrace{f\circ f\circ f\circ ...\circ f}}{k}$
Giả sử rằng tồn tại số nguyên dương n sao cho $f_{n}\left ( x \right )=x; \forall x\epsilon [0,1]$
Chứng minh rằng $f(x)=x, \forall x\epsilon [0,1]$

Câu 3:Cho $f : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ là hàm khả vi. có đạo hàm cấp 2 không âm.
Chứng minh rằng $f(x+f^{'}(x))\geq f(x), \forall x\epsilon \mathbb{R}$

Câu 4: Tìm hàm số $f :\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(xf(y)+x)=xy+f(x), \forall x,y \epsilon \mathbb{R}$

Câu 5:
a) Tính tích phân $\int_{-1}^{1}\frac{dx}{(e^{x}+1)(x^{2}+1)}$

b) Giả sử $f(x)$ là hàm liên tục trên [a,b] và thỏa mãn điều kiện

$f\left ( \frac{x_{1}+x_{2}}{2} \right )\leq \frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2}$

Chứng minh rằng $f\left ( \frac{a+b}{2} \right )\left ( b-a \right )\leq \int_{a}^{b}f(x)dx\leq \frac{f(a)+f(b)}{2}(b-a)$

Câu 6: cho $f :[a,b]\rightarrow (a,b)$ là hàm liên tục. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n tồn tại số dương $\alpha$ và $c\epsilon (a,b)$ sao cho

$f( c)+f(c+\alpha )+...+f(c+n\alpha )=(n+1)(c+\frac{n}{2}\alpha )$


----------------------------------------------------------
Hết

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 01-01-2013 - 22:04

PC đã hỏng chờ mua máy mới :((

#2
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết

Câu 1: Cho dãy số $\left \{ u_{n} \right \}$ xác định như sau $u_{1}= \sqrt{2}$ ; $u_{n+1}=u_{n} + \frac{u_{n^{2}}}{2011\sqrt{2}}$ $\forall n=1,2,...$

Tìm $\lim_{n\rightarrow \infty }$ $(\frac{u_{1}}{u_{2}}+\frac{u_{2}}{u_{3}}+...+\frac{u_{n}}{u_{n+1}})$

Từ công thức xác định dãy ta có: $2011\sqrt{2}\left(\frac{1}{u_n}-\frac{1}{u_{n+1}} \right )=\frac{u_n}{u_{n+1}}$
$$\Rightarrow \frac{u_1}{u_2}+\frac{u_2}{u_3}+...+\frac{u_k}{u_{k+1}}=2011\sqrt{2}\left(\frac{1}{u_1} -\frac{1}{u_{k+1}}\right )=2011\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{u_{k+1}} \right )$$
Hơn nữa $u_{n+1}>u_n \ge \sqrt{2}, \; \forall n\in \mathbb{N}$
Do đó $\{u_n\}$ là dãy đơn điệu.
Do đó nếu dãy $\{u_n\}$ bị chặn trên thì nó hội tụ về $a$ hữu hạn suy ra \[a = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_{n + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} + \frac{{u_n^2}}{{2011\sqrt{2}}}} \right) = a + \frac{{{a^2}}}{{2011\sqrt{2}}}\]
Suy ra $a=0$ vô lý do $a\ge \sqrt{2}$
Vậy $\{u_n\}$ không bị chặn trên nên $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } = + \infty $
\[ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{{{u_1}}}{{{u_2}}} + ... + \frac{{{u_n}}}{{{u_{n + 1}}}}} \right) = 2011\sqrt{2}\]

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#3
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết

Câu 5:

b) Giả sử $f(x)$ là hàm liên tục trên [a,b] và thỏa mãn điều kiện

$f\left ( \frac{x_{1}+x_{2}}{2} \right )\leq \frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2}$

Chứng minh rằng $f\left ( \frac{a+b}{2} \right )\left ( b-a \right )\leq \int_{a}^{b}f(x)dx\leq \frac{f(a)+f(b)}{2}(b-a)$

Từ giả thiết ta có $f(x)$ là hàm lõm hay $f''(x)>0,\forall x\in (a;b)$
Xét hàm số: $g(x)=\int_a^x f(x)dt-(x-a)f\left(\frac{x+a}{2} \right );x\in [a;b]$

Ta có $g'(x)=f(x)-f\left(\frac{x+a}{2} \right )-\frac{x-a}{2}f'\left(\frac{x+a}{2} \right )$

Theo định lý Lagrange tồn tại $x_0\in \left(a;\frac{x+a}{2} \right )$ mà $$f(x)-f\left(\frac{x+a}{2} \right )=f'(x_0)\left(x-\frac{x+a}{2} \right )=f'(x_0)\left(\frac{x-a}{2} \right )$$
$$\Rightarrow g'(x)=\left(\frac{x-a}{2} \right )\left(f'(x_0)-f'\left(\frac{x+a}{2} \right ) \right )$$
Do $f''(x)>0,\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow f'(x)$ dồng biến trên $[a;b]$.
Vì $a<x_0<\frac{x+a}{2}\Rightarrow f'(x_0)<f'\left(\frac{x+a}{2} \right )\Rightarrow g'(x)\le 0,\forall x\in [a;b]$
Vậy $g(x)\le g(a)=0,\forall x\in [a;b]$
Hay $\int_a^bf(t)dt \le (b-a)f\left(\frac{a+b}{2} \right )$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 01-01-2013 - 17:48

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#4
viet 1846

viet 1846

    Gà con

  • Thành viên
  • 224 Bài viết

Câu 3:Cho $f : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ là hàm khả vi. có đạo hàm cấp 2 không âm.
Chứng minh rằng $f(x+f^{'}(x))\geq f(x), \forall x\epsilon \mathbb{R}$


Nếu $f'(x)=0$ ta có dpcm.

Nếu $f'(x)>0$ thì áp dụng định lý $Lagrange$ cho hàm $f$ trên $(x;x+f'(x))$ ta có tồn tại $c$ trong khoảng trên sao cho:

\[f'\left( c \right).f'\left( x \right) = f\left( {x + f'\left( x \right)} \right) - f\left( x \right)\]

Vì $f"(x)>0$ nên ta có: $f'(x)$ là hàm tăng hay $0<f'(x)<f'(c)$

Suy ra đpcm.

CMTT với $f'(x)<0$

#5
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết

Câu 5:
a) Tính tích phân $\int_{-1}^{1}\frac{dx}{(e^{x}+1)(x^{2}+1)}$

:P Không biết làm thế này đúng không
Bổ đề: Cho $f(x)$ là hàm số chẵn liên tục trên đoạn $[-a;a]$ khi đó ta có $$I=\int_{-a}^a\frac{f(x)dx}{m^x+1}dx=\int_{-a}^0 \frac{f(x)}{m^x+1}dx+\int_0^a \frac{f(x)dx}{m^x+1}$$
Chứng minh:
Đặt $$x=-t \Rightarrow I=\int_{-a}^0\frac{f(x)d(x)}{m^x+1}=\int_a^0 \frac{f(-t)d(-t)}{m^{-1}+1}=\int_0^a \frac{f(-t)dt}{\frac{1}{m^t}+1}=\int_0^a\frac{m^tf(-t)dt}{m^t+1}$$
$$=\int_0^a \frac{m^xf(-x)dx}{m^x+1}=\int_0^a \frac{m^xf(x)dx}{m^x+1}\Rightarrow B=\int_0^a \frac{m^xf(x)}{m^x+1}+\int_0^a \frac{f(x)}{m^x+1}dx=\int_0^a f(x)dx$$
Đặt $I=\int_{-1}^{1}\frac{dx}{(e^{x}+1)(x^{2}+1)};f(x)=\frac{1}{x^2+1}$ là hàm chẵn; liên tục trên $[-1;1]$ nên sử dụng bổ đề trên ta có $$I=\int_{-1}^{1}\frac{dx}{(e^{x}+1)(x^{2}+1)}=\int_0^1 \frac{dx}{x^2+1}=arctg x\bigg|_0^1 =\frac{\pi}{4}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 01-01-2013 - 22:13

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#6
phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết

Câu 2: Cho f : [0,1] $\rightarrow$ [0,1] là hàm số liên tục sao cho f(0)=0; f(1)=1
Đặt $f_{k}= \overset{\underbrace{f\circ f\circ f\circ ...\circ f}}{k}$
Giả sử rằng tồn tại số nguyên dương n sao cho $f_{n}\left ( x \right )=x; \forall x\epsilon [0,1]$
Chứng minh rằng $f(x)=x, \forall x\epsilon [0,1]$


Với $x, y \in [0,1]$ sao cho $f(x)=f(y) $ , suy ra $f_n(x)=f_n(y) \Leftrightarrow x=y$

Vậy $f$ đơn ánh. Kết hợp giả thiết $f$ liên tục, suy ra $f$ đơn điệu trên $[0,1]$

Có $f(0)=0<1=f(1) $ , do đó $f$ đơn điệu tăng .

Giả sử tồn tại $x_0 \in [0,1]$ sao cho $f(x_0)<x_0 $

$$ \Rightarrow f_n(x_0)<f_{n-1}(x_0)<...<f(x_0)<x_0 $$

Mâu thuẫn !

Tương tự vậy nếu có $x_0 \in [0,1]$ sao cho $f(x_0)>x_0$ thì cũng dẫn đến $f_n(x_0)>x_0$ .

Vậy phải có $f(x)=x \;\;, \forall x \in [0,1] $

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#7
viet 1846

viet 1846

    Gà con

  • Thành viên
  • 224 Bài viết

Câu 4: Tìm hàm số $f :\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(xf(y)+x)=xy+f(x), \forall x,y \epsilon \mathbb{R}$


Cho $x = 1 \Rightarrow f\left( {f\left( y \right) + 1} \right) = y + f\left( 1 \right)$

$y = - f\left( 1 \right) - 1 \Rightarrow f\left( {f\left( { - f\left( 1 \right) - 1} \right) + 1} \right) = - 1$

Đặt $a = f\left( { - f\left( 1 \right) - 1} \right) + 1 \Rightarrow f\left( a \right) = - 1$

Thay $y=a$ vào phương trình đầu:\[f\left( 0 \right) = ax + f\left( x \right)\]

Vậy $f(x)=ax+b$ Thay lại phương trình đầu suy ra $f(x)=x$ hoặc $f(x)=-x$

#8
phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết

Câu 6: cho $f :[a,b]\rightarrow (a,b)$ là hàm liên tục. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n tồn tại số dương $\alpha$ và $c\epsilon (a,b)$ sao cho

$f( c )+f(c+\alpha )+...+f(c+n\alpha )=(n+1)(c+\frac{n}{2}\alpha )$



Ăn cơm xong thông minh ra :)).

Ta có: $f(a)-a>0 \;\;, f(b)-b<0 $ , $f(x)$ liên tục trên $[a,b]$ nên $f(x)-x$ liên tục trên $[a,b] $ , do đó phương trình $f(x)=x$ có nghiệm trên $(a,b)$


Lại có $f(a)>a \;, f(b)<b$, do đó, trong tất cả nghiệm của phương trình $f(x)=x$, phải có nghiệm $x_0$ sao cho tồn tại $\epsilon>0$ đủ nhỏ ($a<x_0-\epsilon<x_0+\epsilon<b$) để $\forall x \in (x_0-\epsilon,x_0), \;f(x)>x $ và $\forall x \in (x_0,x_0+\epsilon) , \; f(x)<x $

Với $n$ là số nguyên dương cho trước, chọn $0<\alpha <\dfrac{\epsilon}{n} $

Xét $g_n(x)=\sum_{i=0}^n [f(x+i\alpha)-(x+i\alpha)] \;\;, x \in (a,b-n\alpha) $

Dễ thấy $g$ liên tục trên $(a,b-n\alpha)$

Chọn $x_1 \in (x_0-\epsilon,x_0-n\alpha) $ , khi đó ta luôn có $ x_1+i\alpha \in (x_0-\epsilon,x_0) \;, \forall i \in \{0,...,n\}$

do đó, $f(x_1+i \alpha)>x_1+i\alpha \;\;, \forall i \in \{0,...,n\} $

$$\Rightarrow \sum_{i=0}^n [f(x_1+i\alpha)-(x_1+i\alpha)] >0 $$

$$\Leftrightarrow g(x_1)>0$$

Chọn $x_2 \in (x_0,x_0+\epsilon-n\alpha) $ , khi đó luôn có $x_2+i\alpha \in (x_0,x_0+\epsilon) \;, \forall i \in \{0,...,n\}$

do đó, $f(x_2+i\alpha)<x_2+i\alpha \;\;, \forall i \in \{0,...,n\} $

$$\Rightarrow \sum_{i=0}^n [f(x_2+i\alpha)-(x_2+i\alpha)] <0 $$

$$\Leftrightarrow g(x_2)<0 $$


Vậy theo định lý giá trị trung gian, $\exists c \in (x_1,x_2) \;, g( c )=0 $

tức $f( c )+f(c+\alpha)+..+f(c+n\alpha)=(n+1)c+\sum_{i=1}^ni \alpha=(n+1)(c+\dfrac{n}{2}\alpha) $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 01-01-2013 - 20:38

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#9
phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết

Từ giả thiết ta có $f(x)$ là hàm lõm hay $f''(x)>0,\forall x\in (a;b)$
Xét hàm số: $g(x)=\int_a^x f(x)dt-(x-a)f\left(\frac{x+a}{2} \right );x\in [a;b]$

Ta có $g'(x)=f(x)-f\left(\frac{x+a}{2} \right )-\frac{x-a}{2}f'\left(\frac{x+a}{2} \right )$

Theo định lý Lagrange tồn tại $x_0\in \left(a;\frac{x+a}{2} \right )$ mà $$f(x)-f\left(\frac{x+a}{2} \right )=f'(x_0)\left(x-\frac{x+a}{2} \right )=f'(x_0)\left(\frac{x-a}{2} \right )$$
$$\Rightarrow g'(x)=\left(\frac{x-a}{2} \right )\left(f'(x_0)-f'\left(\frac{x+a}{2} \right ) \right )$$
Do $f''(x)>0,\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow f'(x)$ dồng biến trên $[a;b]$.
Vì $a<x_0<\frac{x+a}{2}\Rightarrow f'(x_0)<f'\left(\frac{x+a}{2} \right )\Rightarrow g'(x)\le 0,\forall x\in [a;b]$
Vậy $g(x)\le g(a)=0,\forall x\in [a;b]$
Hay $\int_a^bf(t)dt \le (b-a)f\left(\frac{a+b}{2} \right )$


Câu 5,6 là hai câu khó nhất trong đề.

Tiếc một điều bài giải trên đã sai vì $f$ không nhất thiết khả vi và do đó có thể không tồn tại $f''$.

Từ giả thiết $\forall x_1,x_2 \in [a,b] ,\; f(\dfrac{x_1+x_2}{2}) \le \dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$ suy ra $f$ là hàm lồi trên $[a,b]$

Đối biến $x=(1-t)a+bt$

$$\int_a^b f(x)dx=(b-a)\int_0^1 f((1-x)a+bx)dx \le (b-a)\int_0^1[(1-x)f(a)+xf(b)]dx \le (b-a)\dfrac{f(a)+f(b)}{2}$$

Đổi biến $x=t+\dfrac{a+b}{2}$

$$\int_a^b f(x)dx=\int_{\frac{-(b-a)}{2}}^{\frac{b-a}{2}} f(x+\frac{a+b}{2})dx $$

$$=\int_0^{\frac{b-a}{2}}(f(x+\frac{a+b}{2})+f(\frac{a+b}{2}-x))dx $$

$$\ge \int_0^{\frac{b-a}{2}} 2f(\dfrac{a+b}{2})dx=(b-a)f(\dfrac{a+b}{2})$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 01-01-2013 - 23:30

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#10
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết
Đề thi và đáp án đề này. File gửi kèm  olympic sinhvienktqd2013.pdf   151.38K   564 Số lần tải

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#11
duongtoi

duongtoi

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 747 Bài viết

:P Không biết làm thế này đúng không
Bổ đề: Cho $f(x)$ là hàm số chẵn liên tục trên đoạn $[-a;a]$ khi đó ta có $$I=\int_{-a}^a\frac{f(x)dx}{m^x+1}dx=\int_{-a}^0 \frac{f(x)}{m^x+1}dx+\int_0^a \frac{f(x)dx}{m^x+1}$$
Chứng minh:
Đặt $$x=-t \Rightarrow I=\int_{-a}^0\frac{f(x)d(x)}{m^x+1}=\int_a^0 \frac{f(-t)d(-t)}{m^{-1}+1}=\int_0^a \frac{f(-t)dt}{\frac{1}{m^t}+1}=\int_0^a\frac{m^tf(-t)dt}{m^t+1}$$
$$=\int_0^a \frac{m^xf(-x)dx}{m^x+1}=\int_0^a \frac{m^xf(x)dx}{m^x+1}\Rightarrow B=\int_0^a \frac{m^xf(x)}{m^x+1}+\int_0^a \frac{f(x)}{m^x+1}dx=\int_0^a f(x)dx$$
Đặt $I=\int_{-1}^{1}\frac{dx}{(e^{x}+1)(x^{2}+1)};f(x)=\frac{1}{x^2+1}$ là hàm chẵn; liên tục trên $[-1;1]$ nên sử dụng bổ đề trên ta có $$I=\int_{-1}^{1}\frac{dx}{(e^{x}+1)(x^{2}+1)}=\int_0^1 \frac{dx}{x^2+1}=arctg x\bigg|_0^1 =\frac{\pi}{4}$$


Bạn làm dài quá.
Đặt $t=-x$, ta có
$I=\int_{-1}^1\frac{1}{(e^{-t}+1)(t^2+1)}{\rm dt}=\int_{-1}^1\frac{e^t}{(e^{t}+1)(t^2+1)}{\rm dt}$
Suy ra, $2I=\int_{-1}^1\frac{1}{x^2+1}{\rm d}x=\arctan x\Bigg|_{-1}^1=\frac{\pi}{2}.$

#12
LangTu Mua Bui

LangTu Mua Bui

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 43 Bài viết
Câu 6
 
Dễ dàng Cm được pt $f(x)=x $có nghiệm trên$ (a;b) $

Vì vậy tồn tại các đoạn sao cho $f(x)<0 \forall x \in (a;b)$ và  $f(x)>0 \forall x \in (c;d)$ 

Xét trên đoạn $f(x)<0 \forall x \in (a;b)$ Luôn tồn tại$ \alpha >0$và x lập thành CSC trên $(a;b)$
 
Chọn $x_{1}$ thỏa mãn :$x_{1}>a; x_{1}+n\alpha<b.$
  
Ta có $(n+1)\left ( x+\frac{n\alpha}{2} \right )=\sum_{k=0}^{n}(x+k\alpha)$

$ \Leftrightarrow g(x_{1})= \sum_{k=0}^{n}\left ( f(x+k\alpha)-(x+k\alpha) \right )
\Leftrightarrow  \sum_{k=0}^{n}\left ( f(x_{1}+k\alpha)-(x_{1}+k\alpha) \right ) <0$

Tương tự trên  $\forall x\in (c;d) ;f(x)>0$ Chọn $x_{2}$ thỏa mãn $x_{2}>c ; x_{2}+n\alpha<d $
 
$\Rightarrow   g(x_{2})=\sum_{k=0}^{n}\left ( f(x_{2}+k\alpha)-(x_{2}+k\alpha) \right )>0 $

 
$\Rightarrow g(x_{1}).g(x_{2})<0 \exists c \in (x_{1};x_{2}) $sao cho $g(c)=0$ ĐPCM
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LangTu Mua Bui: 05-12-2015 - 16:20





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh