Chủ đề này có 1 trả lời

[hand of god]

Giải hệ phương trình sau:$\left\{\begin{matrix} x^{3}+3xy^{2} = -49& & \\ x^{2}-8xy+y^{2}=8y-17x& & \end{matrix}\right.$

[triethuynhmath]

Giải hệ phương trình sau:$\left\{\begin{matrix} x^{3}+3xy^{2} = -49& & \\ x^{2}-8xy+y^{2}=8y-17x& & \end{matrix}\right.$

CHo đề máu thế bạn. Bài này là đề thi VMO mà .
Đặt $x+y=u,x-y=v\Rightarrow x=\frac{u+v}{2},y=\frac{u-v}{2}$
Đem thay vào PT đầu ta có: $(\frac{u+v}{2})^3+3(\frac{u+v}{2})(\frac{u-v}{2})^2=-49\Leftrightarrow \frac{u^3+3u^2v+3uv^2+v^3}{8}+\frac{3(u^2-v^2)(u-v)}{8}=-49\Leftrightarrow \frac{u^3+3u^2v+3uv^2+3(u^3-u^2v-uv^2+v^3)}{8}=-49\Leftrightarrow \frac{u^3+v^3}{2}=-49\Leftrightarrow u^3+v^3=-98$$\Leftrightarrow v^3+125=-u^3+27$
Tiếp tục thay vào PT sau @@:
$(\frac{u+v}{2})^2-8(\frac{u+v}{2})(\frac{u-v}{2})+(\frac{u-v}{2})^2=8(\frac{u-v}{2})-17(\frac{u+v}{2})\Leftrightarrow \frac{u^2+v^2}{2}-2(u^2-v^2)=\frac{-9u-25v}{2}\Leftrightarrow -3u^2+5v^2=-9u-25v\Leftrightarrow 5v^2+25v=3u^2-9u$
Đến đây ta cũng nhìn thấy cộng vế theo vế ta có: $(v+5)^3=-(u-3)^3\Leftrightarrow v+5=-u+3\Leftrightarrow u+v=-2$
Đến đây thay $u$ theo $v$ vào 1 trong 2 rồi giải PT tìm ra $u,v => x,y$