Chủ đề này có 6 trả lời

[VMFdiendantoanhoc]

Chứng minh rằng một đa giác lồi có đường kính $d$ luôn được phủ bởi $1$ hình tròn có bán kính $\frac{d}{\sqrt{3}}$
Mình không hiểu tại vì sao ở đoạn chứng minh cho đa giác ($\geq{4}$ cạnh) người ta lại nói là giao của ba hình tròn bất kì trong các hình tròn tạo bởi tâm là các đỉnh và bán kính $\frac{d}{\sqrt{3}}$.

[gogo123]

Đây là một trong những hệ quả hệ quả của định lí sau: Cho hình lồi có đường kính $d$ ta luôn phủ được nó bởi một hình lục giác đều có khoảng cách giữa hai cạnh đối nhau là $d$. (Tạm thời mình quên mất tên đinh lí này, )

Áp dụng định lí này ta có ngay hình tròn bán kính $\frac{d}{\sqrt{3}}$ ngoại tiếp lục giác trên.

Chứng minh định lí trên ta sử dụng phương pháp tịnh tiến và quay các đường thẳng để tạo nên lục giác.Lời giải mình xin post sau....

[Mai Xuan Son]

Đây là một trong những hệ quả hệ quả của định lí sau: Cho hình lồi có đường kính $d$ ta luôn phủ được nó bởi một hình lục giác đều có khoảng cách giữa hai cạnh đối nhau là $d$. (Tạm thời mình quên mất tên đinh lí này, )

Áp dụng định lí này ta có ngay hình tròn bán kính $\frac{d}{\sqrt{3}}$ ngoại tiếp lục giác trên.

Chứng minh định lí trên ta sử dụng phương pháp tịnh tiến và quay các đường thẳng để tạo nên lục giác.Lời giải mình xin post sau....

Post đi anh

[em yeu chi anh]

CM định lý gogo đã đưa ra:

Giả sử hình lồi đó là $F$.

*Note: $F$ là hình lồi*

Ta chọn một đường thẳng $a$ không cắt $F$ và tịnh tiến $a$ lại gần $F$ cho đến khy nó đy qua một điểm của $F$.

Ta thu được ${a_1}$ có là đường thẳng chỉ có một điểm chung duy nhất với $F$ và $F$ nằm về một phía với đường thẳng ${a_1}$.

Tương tự như vậy ta có đường thẳng ${a_2} // {a_1}$ sao cho $F$ nằm trong khoảng giữa cách giữa ${a_1}$ và ${a_2}$. Rõ ràng khoảng cách giữa ${a_1}$ và ${a_2}$ không vượt quá $d$.

Chọn một đường thẳng $b$ nghiêng với ${a_1}$ một góc không quá $60^o$ và tiến hành tương tự như đối với ${a_1}$ và ${a_2}$ ta thu được 2 đường tựa ${b_1}//{b_2}$ cắt cặp đường thẳng ${a_1}//{a_2}$ tạo thành hình bình hành $ABCD$.

Bây giờ chọn đường thẳng $c$ nghiêng với ${a_1}$ môt góc $120^o$ và tiến hành tương tự ta thu được 2 đường tựa ${c_1}//{c_2}$ cắt hình bình hành $ABCD$ tạo nên 2 đoạn thẳng có độ dài $m$ và $n$. Ta có thể chỉ ra rằng có thể chọn vị trí bạn đầu của $a$ sao cho có $m=n$. Thật vậy đặt $y=m-n$  và $x$ là góc tạo bởi $a$ với ${a_0}$ là một đường thẳng cố định ban đầu. Khy đó có $y$ là hàm số liên tục đối với $x$.

Đặt $y=f(x)$. Ta có hiển nhiên $f(x)=-f(x+180)$. Khy đó theo định lý về giá trị trung bình cho hàm số liên tục ta có ${x_0} \in [0,180^o]$ sao cho $f({x_0})=0$.

Khy đó ta sẽ có $m=n$. Ta thấy hiển nhiên lục giác giới hạn bởi ${a_1},{a_2},{b_1},{b_2},{c_1},{c_2}$ là hình lục giác đều có tâm đối xứng là $O$ là giao điểm 2 đường chéo của hình bh $ABCD$.

Lùi các đường thẳng ${a_1},{a_2},{b_1},{b_2},{c_1},{c_2}$ sao cho chúng cùng cách $O$ một khoảng $\frac{d}{2}$ thỳ các đường thẳng này cắt nhau tạo thành một lục giác đều có khoảng cách các cặp đối diện bằng $d$ và chứa $F$.

Ta có đpcm.

*ngại vẽ hình, tự tưởng tượng nhé*.

 Còn bài này nữa (:|. Chứng minh rằng một hình có đường kính $d$ luôn có thể phủ bởi một hình tam giác đều cạnh $\sqrt{3}d$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi em yeu chi anh: 08-04-2013 - 22:05

[gogo123]

Chứng minh trực tiếp: Ta chỉ cần chứng minh giao của tât cả đường tròn tâm đỉnh đa giác bán kính $\frac{d}{\sqrt{3}}$ khác rỗng.

 ta thấy Chỉ cần chứng minh cho tam giác , phần còn lại suy ra từ định lí Helly.

Xét tam giác ABC có độ dài 3 cạnh không lớn hơn $d$ (Khi đó đường kính của tam giác này không lớn hơn $d$ theo t/c đường kính của tam giác)

Nếu nhọn: Chọn tâm đường tròn nội tiếp. ( Chú ý gs AB lớn nhât thì $R=\frac{AB}{2sinC} \leq  \frac{d}{\sqrt{3}}$)

Nếu tù: Chọn tâm là trung điểm cạnh dài nhất . ( Chú ý $a^2+b^2<c^2$ nên $m_C = \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{c^2}{4}}  \leq \frac{d}{\sqrt{3}}$)

[cool hunter]

T muốn hỏi đường kính đa giác lồi là gì?

[gogo123]

Trong hình lồi F thì nó $=max\left \{ d(A,B) : A,B\in F\right \}$.

Đặc biệt trong đa giác thì đường kính là khoảng cách xa nhất giẵ hai đỉnh