Chủ đề này có 2 trả lời

[Sagittarius912]

giải pt:
$\sqrt{2-x^{2}}+\sqrt{2-\frac{1}{x^{2}}}=4-x-\frac{1}{x}$

[19kvh97]

giải pt:
$\sqrt{2-x^{2}}+\sqrt{2-\frac{1}{x^{2}}}=4-x-\frac{1}{x}$

ĐK $x\epsilon [-\sqrt{2};\frac{-1}{\sqrt{2}}]\cup [\frac{1}{\sqrt{2}};\sqrt{2}]$
Đặt $x+\frac{1}{x}=a$ suy ra $a^2=x^2+\frac{1}{x^2}+2\geq 4$(ĐTXR khi $x=\pm 1$)
bình phương cả 2 vế ta dc pt hệ quả
$4-(x^2+\frac{1}{x^2})+2\sqrt{4-2x^2-\frac{2}{x^2}+1}=(4-(x+\frac{1}{x}))^2$
suy ra $4-(a^2-2)+2\sqrt{9-2a^2}=(4-a)^2$
$\Leftrightarrow \sqrt{9-2a^2}=a^2-4a+5$
ta có $a^2\geq4$ suy ra $\sqrt{9-2a^2}\leq 1$
$a^2-4a+5=(a-2)^2+1$$a^2-4a+5=(a-2)^2+1\geq1$
suy ra pt có nghiệm khi $a=2$ suy ra $x=1$(TMĐK)
thử lại thấy TM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 19kvh97: 01-01-2013 - 22:37

[thanhducmath]

giải pt:
$\sqrt{2-x^{2}}+\sqrt{2-\frac{1}{x^{2}}}=4-x-\frac{1}{x}$

Biến đổi phương trình thành$\sqrt{2-x^{2}}+x+\sqrt{2-\frac{1}{x^{2}}}+\frac{1}{x}=4$
Sử dụng BĐT Bunhiacovski ta có
$\left ( \sqrt{2-x^{2}}+x \right )^{2}\leq 4$
Tương tự có
$\left ( \sqrt{2-\frac{1}{x^{2}}}+\frac{1}{x} \right )^{2}\leq 4$
Căn đi rồi cộng lại ta được dạng BĐT của PT trên
Dấu "=" xảy ra khi x=1