Cho $a,b,c,d$ là các số nguyên dương thoả mãn $ab=cd$. Chứng minh rằng $A=a^{n}+b^{n}+c^{n}+d^{n}$ là hợp số $\forall n\in \mathbb{Z}^{+}$
$A=a^{n}+b^{n}+c^{n}+d^{n}$ là hợp số $\forall n\in \mathbb{Z}^{+}$
Bắt đầu bởi duaconcuachua98, 01-01-2013 - 23:05
#2
Đã gửi 02-01-2013 - 08:47
LNH
-
- Hiệp sỹ
-
- 581 Bài viết
Bất Thế Tà Vương
Gọi $(a,c)=k\Rightarrow a=k\times {{a}_{1}},c=k\times {{c}_{1}}$ với $({{a}_{1}},{{c}_{1}})=1$.Cho $a,b,c,d$ là các số nguyên dương thoả mãn $ab=cd$. Chứng minh rằng $A=a^{n}+b^{n}+c^{n}+d^{n}$ là hợp số $\forall n\in \mathbb{Z}^{+}$
$\begin{align}
& \Rightarrow k.{{a}_{1}}.b=k.{{c}_{1}}.d \\
& \Leftrightarrow {{a}_{1}}.b={{c}_{1}}.d \\
\end{align}$
Vì $({{a}_{1}},{{c}_{1}})=1$ nên $b\vdots {{c}_{1}}\Rightarrow b={{c}_{1}}.h$
$\Leftrightarrow d=h.{{a}_{1}}$
$\begin{align}
& \Rightarrow {{a}^{n}}+{{b}^{n}}+{{c}^{n}}+{{d}^{n}}={{(k.{{a}_{1}})}^{n}}+{{(h.{{c}_{1}})}^{n}}+{{(k.{{c}_{1}})}^{n}}+{{(h.{{a}_{1}})}^{n}} \\
& =({{k}^{n}}+{{h}^{n}})(a_{1}^{n}+c_{1}^{n}) \\
\end{align}$
Suy ra đpcm
- Yagami Raito, IloveMaths, duaconcuachua98 và 4 người khác yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
