Chủ đề này có 1 trả lời

[chuyentoan]

Trong tam giác vuông cân http://dientuvietnam...mimetex.cgi?ABC, http://dientuvietnam...tex.cgi?CA=CB=1, http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?P là một điểm bất kỳ nằm trên các cạnh của tam giác. Tìm giá trị lớn nhất của http://dientuvietnam...ex.cgi?PA.PB.PC

[Stupid]

Cách giải này hơi ugly 1 chút
Đầu tiên ta cm để PA.PB.PC lớn thì P AB
Xét P trên CA chẳng hạn. Nếu như CP<0,5 thì lấy P' đối xứng với P qua trung điểm của CA. Khi đó rõ ràng PA.PC=P'A.P'C nhưng P'B>PB. Vậy nếu P CA hoặc CB thì chỉ xét CP>0,5
Bây giờ với P CA và CP>0,5 lấy Q trên AB sao cho PQ//CB Ta sẽ cm PA.PB.PC<QA.QB.QC.
Thật vậy, đặt AP=x CP=1-x ; http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{QA.QB.QC}{PA.PB.PC}=\dfrac{2x(1-x)\sqrt{x^2+(1-x)^2}}{x(1-x)\sqrt{1+(1-x)^2}}=\dfrac{2\sqrt{x^2+(1-x)^2}}{\sqrt{1+(1-x)^2}}>1 ( bất đẳng thức cuối có thể dễ dàng cm = cách bình phương 2 vế )
Như vậy với mỗi P trên CA luôn tương ứng một điểm Q trên AB mà PA.PB.PC<QA.QB.QC
Tức là bây giờ chỉ cần xét với Q AB
Sử dụng nguyên các ký hiệu trên ta có http://dientuvietnam...QA.QB.QC=2x(1-x)\sqrt{x^2+(1-x)^2} với x=AP (0;1/2]
Đạo hàm hàm này đồng biến đạt max tại x=0,5 tức là Q là trung điểm AB
Khi đó http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?QA.QB.QC=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}
Bác nào kiếm được cách giải bằng hình học thì post lên nha

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Stupid: 18-12-2005 - 16:07