Xét sự hội tụ của $\int_{1}^{+\infty}\frac{sinx}{x^{2}}dx$
Xét sự hội tụ của $\int_{1}^{+\infty}\frac{sinx}{x^{2}}dx$
Bắt đầu bởi ngminhtuan, 02-01-2013 - 14:58
tích phân suy rộng
#1
Đã gửi 02-01-2013 - 14:58
#2
Đã gửi 06-01-2013 - 13:53
xét hàm $f(x)=\frac{sinx}{x^{2}}\sim \frac{x}{x^{2}}=\frac{1}{x}$
mà $\int_{1}^{+\infty }\frac{1}{x}dx$ phân kì
=> tích phân ban đầu phân kỳ
mà $\int_{1}^{+\infty }\frac{1}{x}dx$ phân kì
=> tích phân ban đầu phân kỳ
#3
Đã gửi 06-01-2013 - 15:25
xét hàm $f(x)=\frac{sinx}{x^{2}}\sim \frac{x}{x^{2}}=\frac{1}{x}$
mà $\int_{1}^{+\infty }\frac{1}{x}dx$ phân kì
=> tích phân ban đầu phân kỳ
Bài của bạn sai rồi. $sinx\sim x$ khi $x\to 0$ thôi à.
- letrongvan yêu thích
#4
Đã gửi 06-01-2013 - 15:27
Xét sự hội tụ của $\int_{1}^{+\infty}\frac{sinx}{x^{2}}dx$
$Sinx$ bị chặn, và $2>0$ nên theo Định lý Đirichlet ta có tích phân trên hội tụ.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoàng Quốc việt: 06-01-2013 - 15:28
#5
Đã gửi 06-01-2013 - 22:37
Có thể sử dụng tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối.
..................................................
Ta có: $\forall x\in \left [ 1,+\propto \right )$
$0 \leq \left | \sin x \right |\leq 1\Rightarrow 0\leq \frac{\left | \sin x \right |}{x^{2}}\leq \frac{1}{x^{2}}\Rightarrow 0\leq \left | \frac{\sin x}{x^{2}} \right |\leq \frac{1}{x^{2}}$
Mà $\int_{1}^{+\propto }\frac{1}{x^{2}}dx$ hội tụ nên $\int_{1}^{+\propto }\left | \frac{\sin x}{x^{2}} \right |dx$ hội tụ.
Suy ra $\int_{1}^{+\propto }\frac{\sin x}{x^{2}}dx$ hội tụ tuyệt đối.
..................................................
$\int_{1}^{+\propto }\frac{\sin x}{x^{2}}dx$
Ta có: $\forall x\in \left [ 1,+\propto \right )$
$0 \leq \left | \sin x \right |\leq 1\Rightarrow 0\leq \frac{\left | \sin x \right |}{x^{2}}\leq \frac{1}{x^{2}}\Rightarrow 0\leq \left | \frac{\sin x}{x^{2}} \right |\leq \frac{1}{x^{2}}$
Mà $\int_{1}^{+\propto }\frac{1}{x^{2}}dx$ hội tụ nên $\int_{1}^{+\propto }\left | \frac{\sin x}{x^{2}} \right |dx$ hội tụ.
Suy ra $\int_{1}^{+\propto }\frac{\sin x}{x^{2}}dx$ hội tụ tuyệt đối.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 07-01-2013 - 06:41
- letrongvan, ndt94u, bangbang1412 và 1 người khác yêu thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: tích phân suy rộng
Toán Đại cương →
Giải tích →
$\int_1^{+\infty} \frac{1}{\ln^2(x+1)}dx$Bắt đầu bởi LzuTao, 16-10-2015 tích phân suy rộng |
|
|||
Toán Đại cương →
Giải tích →
Tích phân suy rộngBắt đầu bởi taikhoan2014, 05-01-2014 tích phân suy rộng |
|
|||
Toán Đại cương →
Giải tích →
Tính tích phân $\int_{e^{\frac{\pi}{2}}}^{1}coslnxdx$Bắt đầu bởi bangbang1412, 14-09-2013 tích phân suy rộng |
|
|||
Toán Đại cương →
Giải tích →
Xét sự hội tụ chuỗi các tích phân suy rộngBắt đầu bởi bangbang1412, 04-08-2013 dãy số, tích phân, nguyên hàm và . |
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh