Chủ đề này có 2 trả lời

[Yagami Raito]

1. Cho $a+b+c=0$; $x+y+z=0$ ;$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=0$. $a,b,c,x,y,z \neq 0$
Chứng minh rằng $$a^{2}x+b^{2}x+c^{2}z=0$$
2. $a,b,c \neq -1$ $x=by+cz$ $z=ax+by$ $x+y+z \neq 0$ Chứng minh rằng
$$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=2$$

[DarkBlood]

Mình sửa lại đề một ít nhé

1. Cho $a+b+c=0$; $x+y+z=0$ ;$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=0$. $a,b,c,x,y,z \neq 0$
Chứng minh rằng $$a^{2}x+b^{2}y+c^{2}z=0$$

Bài 1:
Ta có:
$+)$ $a+b+c=0$
$\Rightarrow a=-b-c$
$\Rightarrow a^2=\left ( b+c \right )^2$
Tương tự $b^2=\left ( a+c \right )^2;$ $c^2=\left ( a+b \right )^2$

$+)$ $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=0$
$\Rightarrow xbc+yac+zab=0$
$\Rightarrow 2xbc+2yac+2zab=0$

$+)$ $x+y+z=0$
$\Rightarrow y+z=-x;$ $x+y=-z;$ $x+z=-y$

Ta có:
$a^2x+b^2y+c^2z$
$=\left ( b+c \right )^2x+\left ( a+c \right )^2y+\left ( a+b \right )^2z$
$=b^2x+c^2x+a^2y+c^2y+a^2z+b^2z+2xbc+2yac+2zab$
$=a^2(y+z)+b^2(x+z)+c^2(x+y)$
$=-a^2x-b^2y-c^2z$
Do đó:
$2a^2x+2b^2y+2c^2z=0$
$\Leftrightarrow a^2x+b^2y+c^2z=0$ $($đpcm$)$

2. $a,b,c \neq -1$ $x=by+cz;$ $y=ax+cz;$ $z=ax+by;$ $x+y+z \neq 0$ Chứng minh rằng
$$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=1$$

Bài 2:
Từ giả thiết, ta có:
$2(x+y+z)=2(ax+by+cz)$
$\Rightarrow x+y+z=ax+by+cz=ax+x=x(a+1)$
$\Rightarrow a+1=\frac{x+y+z}{x}$
$\Rightarrow \frac{1}{a+1}=\frac{x}{x+y+z}$
Tương tự $\frac{1}{b+1}=\frac{y}{x+y+z};$ $\frac{1}{c+1}=\frac{z}{x+y+z}$
Do đó:
$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}$
$=\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}$
$=\frac{x+y+z}{x+y+z}=1$ $($đpcm$)$

[Pham Le Yen Nhi]

Bài 2:
Cộng ba đẳng thức đã cho ta có:
$x+y+z=by+cz+ax+cz+ax+by=2(ax+by+cz)$ (1)
Mà $x=by+cz$ nên từ (1) ta có
$x+y+z=2(ax+x)=2x(1+a)\Rightarrow \frac{1}{1+a}=\frac{2x}{x+y+z}$
Tương tự:$\frac{1}{1+b}=\frac{2y}{x+y+z}$;$\frac{1}{1+c}=\frac{2z}{x+y+z}$
Vậy: $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=\frac{2x+2y+2z}{x+y+z}=2$