Chủ đề này có 6 trả lời

[DarkBlood]

Câu 1: Cho tam giác đều $ABC$. $M,$ $N,$ là các điểm lần lượt chuyển động trên hai cạnh $BC$ và $AC$ sao cho $BM=CN.$ Xác định vị trí của $M,$ $N$ để độ dài đoạn $MN$ nhỏ nhất.
Câu 2: Cho hình vuông $ABCD.$ Trên cạnh $BC$ lấy điểm $E$ tùy ý $(E\neq B;$ $E\neq C).$ Kẻ tia $Ax$ vuông góc với $AE,$ tia $Ax$ cắt đường thẳng $CD$ tại $F.$ Trung tuyến $AI$ của tam giác $AEF$ cắt $CD$ tại $K,$ đường thẳng kẻ qua $E$ song song với $AB$ cắt $AI$ ở $G.$ Chứng minh $AF^2=FK.FC$
____________________
P/s: Mọi người gợi ý cho em thôi nha!

[BlackSelena]

Câu 1: Cho tam giác đều $ABC$. $M,$ $N,$ là các điểm lần lượt chuyển động trên hai cạnh $BC$ và $AC$ sao cho $BM=CN.$ Xác định vị trí của $M,$ $N$ để độ dài đoạn $MN$ nhỏ nhất.
Câu 2: Cho hình vuông $ABCD.$ Trên cạnh $BC$ lấy điểm $E$ tùy ý $(E\neq B;$ $E\neq C).$ Kẻ tia $Ax$ vuông góc với $AE,$ tia $Ax$ cắt đường thẳng $CD$ tại $F.$ Trung tuyến $AI$ của tam giác $AEF$ cắt $CD$ tại $K,$ đường thẳng kẻ qua $E$ song song với $AB$ cắt $AI$ ở $G.$ Chứng minh $AF^2=FK.FC$
____________________
P/s: Mọi người gợi ý cho em thôi nha!

Câu 1, giả thiết cho không chặt, $M,N$ trùng với $C$ là xong
Câu 2: $AF.FC = FI.FE = AF^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 02-01-2013 - 21:37

[DarkBlood]

Câu 1, giả thiết cho không chặt, $M,N$ trùng với $A$ là xong
Câu 2: $AF.FC = FI.FE = AF^2$

Câu 1: $M$ thuộc $BC$ mà anh, sao mà trùng $A$ được

__
@BlackSel: trùng với C, anh nhầm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 03-01-2013 - 18:22

[LNH]

Câu 1, giả thiết cho không chặt, $M,N$ trùng với $A$ là xong

Hình như do đề bị thiếu giả thiết thôi. Nếu thêm vào $M\ne B,C,N\ne C,A$ thì ta có:
Đặt a=BC,x=BM,NH vuông góc BC sau đó tính MH,HN theo a và x rồi áp dụng định lý Pytago cho tam giác MNH thì ta sẽ có kq.
(Vì nếu ko có giả thiết ấy thì chẳng lẽ nằm chơi như bạn cũng có kq à )

[Oral1020]

Câu 1:
Gọi $P,Q$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M,N$ trên $AB$.
Ta có:$\Delta{AQN}$ vuông tại $Q$ có $\widehat{A}=60^{o}$ nên $\Delta{QAN}$ là tam giác nữa đều.
$\Longrightarrow AQ=\dfrac{AN}{2}$
Tương tự $\Delta{PBM}$ là tam giác nữa đều.
$\Longrightarrow PB=\dfrac{BM}{2} \Longrightarrow PB=\dfrac{CN}{2}$
Do đó $AQ+PB=\dfrac{AN+CN}{2}=\dfrac{AC}{2}$
Vẽ $MH \bot NQ$ ($H \in NQ)$
Tứ giác $QHMP$ là hcn
$\Longrightarrow MH=PQ$
Ta có $MH \bot NQ,N \in NQ \Longrightarrow MN \ge MH$
Do đó $MN \ge PQ=AB-(AQ+PB)=AB-\dfrac{AC}{2}$
$\Longrightarrow MN \ge \dfrac{AB}{2}=\text{const}$
Dấu bằng xảy ra khi $M,N$ là trung điểm của $BC$ và $AC$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 02-01-2013 - 21:33

[Tienanh tx]

Gợi ý bài 2:
Bạn chỉ biệt chia nhỏ vấn đề ra,
Đầu tiên bạn tính $FK = ?$ , $FC = ?$
Rồi nhân 2 kệt qả đó lại thế nào củg ra $ĐPCM$

[tieuthuvodanh1980]

Câu 1:
Gọi $P,Q$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M,N$ trên $AB$.
Ta có:$\Delta{AQN}$ vuông tại $Q$ có $\widehat{A}=60^{o}$ nên $\Delta{QAN}$ là tam giác nữa đều.
$\Longrightarrow AQ=\dfrac{AN}{2}$
Tương tự $\Delta{PBM}$ là tam giác nữa đều.
$\Longrightarrow PB=\dfrac{BM}{2} \Longrightarrow PB=\dfrac{CN}{2}$
Do đó $AQ+PB=\dfrac{AN+CN}{2}=\dfrac{AC}{2}$
Vẽ $MH \bot NQ$ ($H \in NQ)$
Tứ giác $QHMP$ là hcn
$\Longrightarrow MH=PQ$
Ta có $MH \bot NQ,N \in NQ \Longrightarrow MN \ge MH$
Do đó $MN \ge PQ=AB-(AQ+PB)=AB-\dfrac{AC}{2}$
$\Longrightarrow MN \ge \dfrac{AB}{2}=\text{const}$
Dấu bằng xảy ra khi $M,N$ là trung điểm của $BC$ và $AC$

Qua N kẻ đường thẳng song song với BCcắt AB tại D

Tam giác NDA đều nên ND=CM mặt khác ND//CM nên CNDM là HBH

MN=2NE.

MN nhỏ nhất khi NE nhỏ nhất (NE là trung tuyến của tam giác NCD. NE nhỏ nhất khi NE vuông góc với DC. Khi đó HBH CNDM có 2 đường chéo vuông góc nên là hình thoi=> CN=CM=MB=NA=> M, N là trung điểm của CA,CB.

 

Theo định lí hàm số cos ta có

MN²=CN²+CM²-2CN.CM. cos(60^o)

MN²=CN²+CM²-CN.CM  (cos60^o=0,5)

MN²=CN²+CM² +2 CN.CM-3CN.CM= (CN+CM)²-3CN.CM= BC²-3CN.CM

MN nhỏ nhất khi CM.CN lớn nhất

Theo BĐT cauchy thì tích hai số lớn nhất khi hai số bằng nhau => CN=CM=> tg MNC đều, M, N là trung điểm các cạnh