Chủ đề này có 7 trả lời

[thanhelf96]

Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn $abc=1$ . Chứng minh rằng:
$\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+a}\leq \frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 06-01-2013 - 21:52

[thanhelf96]

đây là lời giải
http://forum.mathsco...ead.php?t=36239

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhelf96: 04-01-2013 - 22:33

[no matter what]

đây là lời giải
http://boxmath.vn/4r...4881#post184881

ĐÓ LÀ 1 LỜI GIẢI SAI

[Oral1020]

http://forum.mathsco...ead.php?t=36239
ở đó nhé
---
Mà hình như cũng có nick bạn trong đó

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 04-01-2013 - 22:32

[thanhelf96]

http://forum.mathsco...ead.php?t=36239
ở đó nhé
---
Mà hình như cũng có nick bạn trong đó

nhưng bài giải đó mình đọc không hiểu mấy

[Oral1020]

Cách này ngắn nhưng trâu
Đăt $x=a+b+c;y=ab+bc+ac$
Bằng $AM-GM$,ta có $x;y \ge 3$
Sau đây là một màng cày ruộng (Quy đồng ),ta được
$\dfrac{3+4x+y+x^2}{2x+y+x^2+xy} \le \dfrac{12+4x+y}{9+4x+2y}$
$\Longleftrightarrow (3x^2y-5x^2-12x)+(xy^2-y^2-3x-3y)+(6xy-9x-27) \ge 0$
Luôn đúng với $x;y \ge 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 06-01-2013 - 21:47

[no matter what]

Cách này ngắn nhưng trâu
Đăt $x=a+b+c;y=ab+bc+ac$
Bằng $AM-GM$,ta có $x;y \ge 3$
Sau đây là một màng cày ruộng (Quy đồng ),ta được
$\dfrac{3+4x+y+x^2}{2x+y+x^2+xy} \le \dfrac{12+4x+y}{9+4x+2y}$
$\Longleftrightarrow (3x^2y-5x^2-12x)+(xy^2-y^2-3x-3y)+(6xy-9x-27) \ge 0$
Luôn đúng với $x;y \ge 3$

em chứng minh chi anh dòng này với ?

[KietLW9]

Xét hiệu: $\frac{2}{a+2}-\frac{b}{ab+b+1}-\frac{1}{a+b+1}=\frac{a(b-1)^2}{(a+2)(ab+b+1)(a+b+1)}\geqslant 0\Rightarrow \frac{2}{a+2}\geqslant \frac{b}{ab+b+1}+\frac{1}{a+b+1}$

Tương tự rồi cộng lại, ta có: $\frac{2}{a+2}+\frac{2}{b+2}+\frac{2}{c+2}\geqslant \frac{b}{ab+b+1}+\frac{c}{bc+b+1}+\frac{a}{ca+c+1}+\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}=\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}+1$

Đến đây cần chứng minh: $\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\leqslant 1\Leftrightarrow \frac{a}{a+2}+\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2}\geqslant 1$

Thật vậy: $\frac{a}{a+2}+\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2}=\frac{a}{a+2\sqrt[3]{abc}}+\frac{b}{b+2\sqrt[3]{abc}}+\frac{c}{c+2\sqrt[3]{abc}}=\sum_{cyc}^{}\frac{\sqrt[3]{a^2}}{\sqrt[3]{a^2}+2\sqrt[3]{bc}}\geqslant \sum_{cyc}^{}\frac{\sqrt[3]{a^2}}{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}+\sqrt[3]{c^2}}=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 20-12-2021 - 16:54