Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \frac{a^3}{a^3+abc+b^3}\geq 1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
thanhdotk14

thanhdotk14

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 268 Bài viết
Cho ba số thực dương $a,b,c$ . Chứng minh rằng :
$\sum \frac{a^3}{a^3+abc+b^3}\geq 1$

-----------------------------------------------------

 

:ukliam2: Untitled1_zps6cf4d69d.jpg :ukliam2:


#2
NGUYEN MINH HIEU TKVN

NGUYEN MINH HIEU TKVN

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 29 Bài viết
Bài toán này theo mình là ngược dấu :lol:
Bài toán phụ
$x^{3}+y^{3}\geq xy(x+y)$ ( với x. y dương)
ta có $x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\geq (x+y)(2xy-xy)=xy(x+y)$
Ấp dụng vào bài có
VT = A =$\sum \frac{a^{3}}{a^{3}+abc+b^{3}}\leq \sum \frac{a^{3}}{ab(a+b)+abc}=\sum \frac{a^{3}}{ab(a+b+c)}$
$\Leftrightarrow A= \sum \frac{a^{2}}{b(a+b+c)}$
$\Leftrightarrow A \leq (\sum \frac{a^{2}}{b}).\frac{1}{a+b+c}$
Ta chie cần cm $(\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}) \geq a+b+c$
Thật vậy

$\frac{a^{2}}{b}+b \geq 2a$ ( bdt COSI)
$\frac{b^{2}}{c}+c \geq 2b$
$\frac{c^{2}}{a}+a \geq 2c$
Cộng vào tta có điều cần chúng minh là A nhỏ hơn bằng 1
=-==============
Bạn nhớ góp ý nhé :wub: :wub:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NGUYEN MINH HIEU TKVN: 04-01-2013 - 22:46


#3
thanhdotk14

thanhdotk14

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 268 Bài viết
Hk đề đúng đó bạn , bạn đánh giá bị nhầm ở chỗ này nè : sao $A\leq (\sum \frac{a^2}{b})\frac{1}{a+b+c}$ mà lại $\sum \frac{a^2}{b}\geq a+b+c$ , bạn không thấy ngược dấu sao :(

-----------------------------------------------------

 

:ukliam2: Untitled1_zps6cf4d69d.jpg :ukliam2:


#4
thanhdotk14

thanhdotk14

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 268 Bài viết
Bài này giải như sau :
Vì bất đẳng thức thuần nhất nên ta chuyển hóa $abc=1$ bằng cách đặt $a=\sqrt[3]{\frac{x}{y}},b=\sqrt[3]{\frac{y}{z}},c=\sqrt[3]{\frac{z}{x}}$
Khi đó $\sum \frac{a^3}{a^3+abc+b^3}=\sum\frac{x^2}{x^2+xy+yz}$
Mà $\sum\frac{x^2}{x^2+xy+yz}\geq \frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)}=1$ (Theo bất đẳng thức CAUCHY-SCHWARZ dạng ENGLE)
Vậy ta có đpcm

-----------------------------------------------------

 

:ukliam2: Untitled1_zps6cf4d69d.jpg :ukliam2:


#5
Sagittarius912

Sagittarius912

    Trung úy

  • Thành viên
  • 776 Bài viết

Bài này giải như sau :
Vì bất đẳng thức thuần nhất nên ta chuyển hóa $abc=1$ bằng cách đặt $a=\sqrt[3]{\frac{x}{y}},b=\sqrt[3]{\frac{y}{z}},c=\sqrt[3]{\frac{z}{x}}$
Khi đó $\sum \frac{a^3}{a^3+abc+b^3}=\sum\frac{x^2}{x^2+xy+yz}$
Mà $\sum\frac{x^2}{x^2+xy+yz}\geq \frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)}=1$ (Theo bất đẳng thức CAUCHY-SCHWARZ dạng ENGLE)
Vậy ta có đpcm

đúng không???
Theo cách đặt thì
$a^{3}=\frac{x}{y}; b^{3}=\frac{y}{z}; abc=1$
thay vào nhé
$\frac{a^{3}}{a^{3}+abc+b^{3}}= \frac{\frac{x}{y}}{\frac{x}{y}+1+\frac{y}{z}}=\frac{xz}{y^{2}+zx+yz}$
bạn xem lại cách CM nhé

#6
thanhdotk14

thanhdotk14

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 268 Bài viết

đúng không???
Theo cách đặt thì
$a^{3}=\frac{x}{y}; b^{3}=\frac{y}{z}; abc=1$
thay vào nhé
$\frac{a^{3}}{a^{3}+abc+b^{3}}= \frac{\frac{x}{y}}{\frac{x}{y}+1+\frac{y}{z}}=\frac{xz}{y^{2}+zx+yz}$
bạn xem lại cách CM nhé

À nhâm , đặt $a=\sqrt[3]{\frac{y}{x}}$ và tương tự đối với $b,c$

-----------------------------------------------------

 

:ukliam2: Untitled1_zps6cf4d69d.jpg :ukliam2:


#7
Sagittarius912

Sagittarius912

    Trung úy

  • Thành viên
  • 776 Bài viết

À nhâm , đặt $a=\sqrt[3]{\frac{y}{x}}$ và tương tự đối với $b,c$

cũng thế cả thôi bạn à
vị trí thế nào không quan trọng nhưng đặt như thế không ra được biểu thức như bạn nói đâu

#8
thanhdotk14

thanhdotk14

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 268 Bài viết
Đâu , nếu đặt $a=\sqrt[3]{\frac{y}{x}},b=\sqrt[3]{\frac{z}{y}},c=\sqrt{\frac{x}{z}}$ thì ta có :
$\frac{a^3}{a^3+abc+b^3}=\frac{\frac{y}{x}}{\frac{y}{x}+1+\frac{z}{y}}=\frac{y^2}{y^2+xz+xy}$
Từ đó tiếp tục như ban đầu.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdotk14: 06-01-2013 - 12:55

-----------------------------------------------------

 

:ukliam2: Untitled1_zps6cf4d69d.jpg :ukliam2:





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh