$P=\frac{a^{4}}{b^{4}}+\frac{b^{4}}{a^{4}}-\left ( \frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}} \right )+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}(ab\neq 0)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tran hoai nghia: 11-01-2013 - 18:38
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tran hoai nghia: 11-01-2013 - 18:38
SÁCH CHUYÊN TOÁN, LÝ , HÓA
https://www.facebook...toanchuyenkhao/
Ta có :$\frac{a^{4}}{b^{4}}+\frac{b^{4}}{a^{4}}= (\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}})^{2}-2= ((\frac{a}{b}+\frac{b}{a})^{2}-2)^{2}-2$bài 11:tìm min, max của biểu thức:
$P=\frac{a^{4}}{b^{4}}+\frac{b^{4}}{a^{4}}-\left ( \frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}} \right )+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}(ab\neq 0)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BoFaKe: 11-01-2013 - 22:50
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tran hoai nghia: 13-01-2013 - 20:11
SÁCH CHUYÊN TOÁN, LÝ , HÓA
https://www.facebook...toanchuyenkhao/
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 21-01-2013 - 18:34
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 21-01-2013 - 18:34
A2K40-er
My Blog : http://a2k40pbc.blogspot.com/
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 21-01-2013 - 18:35
SÁCH CHUYÊN TOÁN, LÝ , HÓA
https://www.facebook...toanchuyenkhao/
Bài 12 và 13 đều đã có lời giải trong topic này : http://diendantoanho...13/page__st__20
Theo ý kiến của riêng của mình thì có thể gộp chung hai topic Ôn thi đại học 2013 và Sử dụng đạo hàm để giải bất đẳng thức lại làm một topic được không ,bởi hai topic này cùng chung nội dung và mục đích.
Từ giả thuyết, ta có :
$b+c-a\ge \dfrac{1}{5}b>0$; $a+b-c\ge \dfrac{8}{5}b>0$
- Xét trường hợp $c+a-b>0$
$\begin{aligned}
& -\dfrac{P}{2}=\dfrac{12(b+c-a)}{2c}+\dfrac{12(c+a-b)}{2a}+\dfrac{25(a+b-c)}{2b}-\dfrac{49}{2} \\
& =\dfrac{12(b+c-a)}{\left( b+c-a \right)+\left( c+a-b \right)}+\dfrac{12(c+a-b)}{\left( c+a-b \right)+\left( a+b-c \right)}+\dfrac{25(a+b-c)}{\left( a+b-c \right)+\left( b+c-a \right)}-\dfrac{49}{2} \\
\end{aligned}$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& x=b+c-a \\
& y=c+a-b \\
& z=a+b-c \\
\end{aligned} \right.\begin{matrix}
{} & \left( x,y,z>0 \right) \\
\end{matrix}$
Với $a\ge \dfrac{3}{5}b+c\Rightarrow 5a\ge 3b+5c\Leftrightarrow a+b-c\ge 4b+4c-4a\Leftrightarrow z\ge 4x\Rightarrow \dfrac{z}{x}\ge 4$ hay $\dfrac{x}{z}\le \dfrac{1}{4}$
Với $\dfrac{4}{5}b+c\ge a\Rightarrow 8b+10c\ge 10a\Leftrightarrow 9b+9c-9a\ge a+b-c\Leftrightarrow 9x\ge z\Rightarrow \dfrac{x}{z}\ge \dfrac{1}{9}$
Ta có:
$-\dfrac{P}{2}= \dfrac{12x} {x+y}+ \dfrac{12y} {y+z}+ \dfrac{25z} {z+x}- \dfrac{49} {2}=12\left( \dfrac{1}{1+ \dfrac{y} {x}}+\dfrac{1}{1+\dfrac{z}{y}} \right)+\dfrac{25}{1+ \dfrac{x} {z}}-\dfrac{49}{2}$
$\ge \dfrac{24}{1+\sqrt{\dfrac{z}{x}}}+\dfrac{25}{1+ \dfrac{x} {z}}-\dfrac{49}{2}=\dfrac{24\sqrt{ \dfrac{x} {z}}}{1+\sqrt{ \dfrac{x} {z}}}+\dfrac{25}{1+\dfrac{x}{z}}-\dfrac{49}{2}$ (Do $\dfrac{z}{x}\ge 4>1$)
Xét hàm số $f(t)=\dfrac{24t}{1+t}+\dfrac{25}{1+{{t}^{2}}}-\dfrac{49}{2}$ với $t=\sqrt{\dfrac{x}{z}}$,$\dfrac{1}{3}\le t\le \dfrac{1}{2}$.
Ta có $f'\left( t \right)=\dfrac{\left( 3t-1 \right)\left( t-3 \right)\left( 8{{t}^{2}}+15t+8 \right)}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}{{\left( {{t}^{2}}+1 \right)}^{2}}}\le 0$ $\forall t\in \left[ \dfrac{1}{3};\dfrac{1}{2} \right]$
Hàm số $f\left( t \right)$ nghịch biến trên $\left[ \dfrac{1}{3};\dfrac{1}{2} \right]$. Do đó $f\left( t \right)\ge f\left( \dfrac{1}{2} \right)=\dfrac{7}{2}\Rightarrow P\le -7$
- Xét trường hợp $c+a-b\le 0$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& a-b\le -c \\
& c-a\le -\dfrac{3}{5}b \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow P\le -12-15+\dfrac{12(b-c)}{a}<-27+\dfrac{12b}{a}$
Mà $\dfrac{3}{5}b\le a-c<a\Rightarrow b<\dfrac{5}{3}a$. Do đó $P<-27+20=-7$
Vậy giá trị lớn nhất của $P$ bằng $-7$.
Dấu $“=”$ xảy ra khi $\left\{ \begin{aligned}
& {{y}^{2}}=xz \\
& z=4x \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y=2x \\
& z=4x \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3b+c=3a \\
& 3b+5c=5a \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=2c \\
& b=\dfrac{5}{3}c \\
\end{aligned} \right.$.
Cách này không dùng KSHSGóp 1 bài
Bài 5:
Cho $a,b,c$ không âm,$a+b+c=1$.Chứng minh:
$a(b-c)^4+b(c-a)^4+c(a-b)^4 \leq \frac{1}{12}$
p/s:bài trên có thế làm cách khác nhưng giải đúng theo tư tưởng của topic nhé!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 15-01-2013 - 22:49
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
Cho mình hỏi ý nghĩa của việc giả sử $z=\min\{x,y,z\}.$ và cách phân tích $x(y-z)^4\le xy(y-z)^3;\qquad y(z-x)^4\le xy(x-z)^3,$ được không? mình không hiểu???Không mất tổng quát giả sử $z=\min\{x,y,z\}.$ Ta có
$x(y-z)^4\le xy(y-z)^3;\qquad y(z-x)^4\le xy(x-z)^3,$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 21-01-2013 - 18:36
SÁCH CHUYÊN TOÁN, LÝ , HÓA
https://www.facebook...toanchuyenkhao/
với $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ thì$\sin x,\cos x> 0$.Bài $17$ :
Cho $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. Chứng minh rằng :
$\text{a})$ $\sin \alpha > \alpha - \frac{\alpha^{3}}{6}$.
$\text{b)}$ $\sin \alpha > \frac{2\alpha}{\pi}$.
$\text{c)}$ $\alpha \sin \alpha + \cos \alpha > 1$.
$\text{d)}$ $2^{\sin \alpha} + 2^{\tan \alpha} > 2^{\alpha + 1}$.
SÁCH CHUYÊN TOÁN, LÝ , HÓA
https://www.facebook...toanchuyenkhao/
SÁCH CHUYÊN TOÁN, LÝ , HÓA
https://www.facebook...toanchuyenkhao/
Lần đâu mình trình bày, nếu có sai sót mong các bạn giúp đỡ Từ điều kiện ta có 4(x^{2}+y^{2})^{2}=(xy+1)^{2} vây: 4(x^{4}+y^{4})=-7x^{2}y^{2}+2xy+1..Bài 16: Cho 2 số thực x, y thỏa: $2(x^{2}+y^{2})=xy+1$. Tìm GTNN và GTLN của $P=\frac{x^{4}+y^{4}}{2xy+1}$
do mình không biết cách công thức...nên ko thê trình bày cách giãiBài 16:
Cho 2 số thực x, y thỏa: $2(x^{2}+y^{2})=xy+1$.
Tìm GTNN và GTLN của $P=\frac{x^{4}+y^{4}}{2xy+1}$
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh