Chủ đề này có 92 trả lời

[tramyvodoi]

m lam theo cach dồn biến được không nhi~
đặt t=(x+y)/2, s=(x-y)/2
từ đó ta có x=t+s; y=t-s: z=-2t
dự vào x^2+y^2+z^2=1 suy ra dc s^2=(1-6t^2)/2
thây thế x ,y,z vào x^5+y^5+z^5 theo s va t...sau do thay s theo t...ta dc bieu thuc
f(t)=-20t^3+5/2t
sử dụng đạo hàm..t se dc kết quả

Mục tiêu của mình là ôn luyện để thi đại học. Bài này có thể giải chỉ bằng những biến đổi biền thường kèm theo dùng đạo hàm. bạn thủ suy nghĩ nhé. Cám ơn bạn đã tham gia topic. Bạn cũng chưa dùng Latex, và cũng chưa gõ có dấu. Bạn xem trên forum cách gõ công thức Latex và hãy sữa lại bài viết nha.

[dtvanbinh]

Đây là 1 bài toán mà thằng bạn mình nó hỏi mình. Mình thấy hay nên post lên thôi.

em mạnh dạn làm phát theo đạo hàm
từ giả thiết ta có
$a+b=-c$
thay vào ta có $ab=c^{2}-\frac{1}{2}$
nên có ngay $a^{2}+b^{2}+ab=\frac{1}{2}$
thay vào biểu thức ta có
$a^{5}+b^{5}+c^{5}=a^{5}+b^{5}-(a+b)^{5}=-(a^{4}b+b^{4}a+a^{2}b^{3}+a^{3}b^{2}+\frac{3}{2}ab(a+b))=-ab(a+b)(ab+2)\leq ab2\sqrt{ab}(ab+2)$
đến đây khảo sát hàm 1 biến

[trungdung97]

cho góp 1 bài với
Cho x,y thõa mãn $1\geq x^{2}\geq y> 0$ .CMR $xy+\, 9y+91\geq 101x$

[Tran Hoai Nghia]

thấy chỉ dùng đạo hàm thì ngán wa, tui bổ sung dùng định lí lagrange chứng minh bdt nè:
bài 20:Chứng minh rằng với mọi $x\geq 2$ luôn có:
$(x+1)\cos \frac{\pi }{x+1}-x\cos \frac{\pi }{x}> 1$
bài 21:Cho các số thực dương a,b,c,d thoả mãn
$\left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}+c^{2}=d^{2}+e^{2} & \\ a^{4}+b^{4}+c^{4}=d^{4}+e^{4}& \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng:$a^{3}+b^{3}+c^{3}< d^{3}+e^{3}$.
bài 21 còn sử dụng định lí rolle.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tran hoai nghia: 23-03-2013 - 13:13

[Mai Xuan Son]

Đăng 1 bài góp vui không biết lặp chưa
Bài 22
Cho $a,b,c\geq 0$
Tìm $\min$ của 
$P=[(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2].[\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(a-c)^2}]$

[nthoangcute]

Đăng 1 bài góp vui không biết lặp chưa
Bài 22
Cho $a,b,c\geq 0$
Tìm $\min$ của 
$P=[(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2].[\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(a-c)^2}]$

 

 

Không mất tính tổng quát, giả sử $a \geq b \geq c \geq 0$

Ta có \[P'_c= \left( 4\,a+2\,b+2\,c \right)  \left(  \left( a-b \right) ^{-2}+ \left( b-c \right) ^{-2}+ \left( c-a \right) ^{-2} \right) - \left(  \left( a+b \right) ^{2}+ \left( b+c \right) ^{2}+ \left( c+a \right) ^{2} \right)  \left( 2\, \left( a-b \right) ^{-3}-2\, \left( c-a \right) ^{-3} \right) \\=\left(  \left( a-b \right) ^{2}+ \left( b-c \right) ^{2}+ \left( c-a \right) ^{2} \right)  \left( {\frac { \left( 2\,a+b+c \right)  \left( {a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}-ab-bc-ca \right) }{ \left( a-b \right) ^{2} \left( b-c \right) ^{2} \left( a-c \right) ^{2}}}-{\frac { \left( 2\,a-c-b \right)  \left(  \left( a+b \right) ^{2}+ \left( b+c \right) ^{2}+ \left( c+a \right) ^{2} \right) }{ \left( a-b \right) ^{3} \left( a-c \right) ^{3}}} \right) >0\]

Suy ra $P_{\min}$ khi và chỉ khi $c=0$

Khi đó $$P_{c=0}=\frac{1}{16}\,{\frac { \left( 2\,{b}^{2}+3\,ab+ba\sqrt {33}+2\,{a}^{2}\right)  \left( 4\,{b}^{2}-5\,ab-ba\sqrt {33}+4\,{a}^{2} \right) ^{2}}{{b}^{2} \left( b-a \right) ^{2}{a}^{2}}}+{\frac {59}{4}}+\frac{11}{4}\,\sqrt {33}\geq{\frac {59}{4}}+ \frac{11}{4}\,\sqrt {33}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 28-03-2013 - 17:53

[tramyvodoi]

Bài 23: Cho các số thực x,y,z, thỏa $\left\{\begin{matrix} x+y+z=6 & \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=14 & \end{matrix}\right.$

Tìm max, min $\frac{4x+y}{z}$

Nguồn: 143 bài bdt luyện thi đại học của thầy Trần Bá Thịnh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 02-05-2013 - 19:11

[hathanh123]

Bài 23: Cho các số thực x,y,z, thỏa $\left\{\begin{matrix} x+y+z=6 & \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=14 & \end{matrix}\right.$

Tìm max, min $\frac{4x+y}{z}$

Nguồn: 143 bài bdt luyện thi đại học của thầy Trần Bá Thịnh

Bạn xem cách giải của Anh Cẩn.

File gửi kèm

•  khu dan so bien bang dao ham.pdf   325.47K   1074 Số lần tải

[e331990]

http://diendantoanho...o-hàm/?p=425501

các bạn ơi mình làm bài này bằng đạo hàm mà không ra. mọi người giúp với

[Tran Hoai Nghia]

Bài 24:Cho x,y,z là 3 số thực thuộc đoạn $\left [ 1,3 \right ]$ và $x+y+2z=6$.Tìm min và max của biểu thức:

$P=x^{3}+y^{3}+5z^{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanquockhanh: 12-07-2013 - 20:33

[Alexman113]

Lâu quá chưa thấy Topic hoạt động, xin vực dậy Topic nhé!

$\fbox{Bài 25.}$ Chứng minh rằng với $0<a<b<\dfrac{\pi}{2},$ ta luôn có: $$a\tan b>b\tan a$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Alexman113: 21-07-2013 - 23:38

[Alexman113]

$\fbox{Bài 26.}$ Chứng minh rằng với $0<x<\dfrac{\pi}{2},$ ta luôn có: $$\cos x<1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Alexman113: 21-07-2013 - 23:38

[Alexman113]

$\fbox{Bài 27.}$ Chứng minh rằng với $\forall x\in\left(0;\,\dfrac{\pi}{2}\right),$ ta luôn có: $$\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^3>\cos x$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Alexman113: 21-07-2013 - 23:31

[SOYA264]

$\fbox{Bài 26.}$ Chứng minh rằng với $0<x<\dfrac{\pi}{2},$ ta luôn có: $$\cos x<1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}$$

Xét hàm: $f(x)=\frac{x^{4}}{24}-\frac{x^{2}}{2}+1-cosx$ trên $D=(0;\frac{\Pi }{2})$

 

Ta có: $f'(x)=\frac{x^{3}}{6}-x+sinx$

           

           $f''(x)=\frac{x^2}{2}-1+cosx$

           

           $f^{(3)}(x)=x-sinx$

           

           $f^{(4)}(x)=1-cosx> 0,\forall x\in(0;\frac{\Pi }{2})$

 

$\Rightarrow f^{(3)}(x)$ đồng biến trên $(0;\frac{\Pi }{2})$ $\Rightarrow f^{(3)}(x)> f^{(3)}(x)=0$

 

Lập luận tượng tự,ta đi đến $f(x)> f(0)=0$

 

Ta được đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SOYA264: 22-07-2013 - 09:12

[SOYA264]

http://diendantoanho...o-hàm/?p=425501

các bạn ơi mình làm bài này bằng đạo hàm mà không ra. mọi người giúp với

Mình copy đề từ bên ấy qua nhé! Đánh số vô cho đúng "luật"

Bài 27:1.cho x,y,z không âm và x+y+z=1 chứng minh:$0\leqslant xy+yz+zx-3xyz\leqslant\frac{1}{4}$

Giải:

Vì vai trò của các biến như nhau nên không mất tính tổng quát, giả sử x=min{x;y;z}$\Rightarrow x\leq \frac{1}{3}$

 

P=$x+y+z-3xyz$=$x(y+z)+yz(1-3x)\leq x(y+z)+\frac{(y+z)^{2}}{4}(1-3x)=x(1- x)+\frac{(1-x)^{2}}{4}(1-3x)=\frac{1}{4}(-3x^3+3x^2-x+1)$

 

Xét hàm: $f(x)=-3x^3+3x^2-x+1$ trên $[0;\frac{1}{3}]$

 

$f'(x)=-9x^2+6x-1=-(3x-1)^{2}=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}$

 

Hàm $f(x)$nghịch biến trên $[0;\frac{1}{3}]$

 

$\Rightarrow f(x)\leq f(0)=1$

 

Vậy max $P=\frac{1}{4}$,đạt được khi $(x;y;z)=(0;\frac{1}{2};\frac{1}{2})$ và các hoán vị

P/S: Ừ, mình nhầm, cảm ơn BoFaKe nhé!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SOYA264: 22-07-2013 - 12:01

[BoFaKe]

 

Đánh số vô cho đúng "luật"

Bài 27:1.cho x,y,z không âm và x+y+z=1 chứng minh:$0\leqslant xy+yz+zx-3xyz\leqslant\frac{1}{4}$

Giải:

Vì vai trò của các biến như nhau nên không mất tính tổng quát, giả sử x=min{x;y;z}$\Rightarrow x\leq \frac{1}{3}$

 

P=$x+y+z-3xyz$=$x(y+z)+yz(1-3x)\leq x(y+z)+\frac{(y+z)^{2}}{4}(1-3x)=x(1- x)+\frac{(1-x)^{2}}{4}(1-3x)=\frac{1}{4}(-3x^3+3x^2-x+1)$

 

Xét hàm: $f(x)=-3x^3+3x^2-x+1$ trên $[0;\frac{1}{3}]$

 

$f'(x)=-9x^2+6x-1=-(3x-1)^{2}=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}$

$f'(x)<0$ thì là hàm nghịch biến mà bạn,khi đó $f(x) \leq f(0)$

[vitconvuitinh]

Bài 28: Cho $x$ và $y$ là 2 số dương thoả $x^3+y^3\leq 2$. Tìm Max cua $P=x^2+y^2$

[vitconvuitinh]

Bài 29: Cho $x$ và $y$ là 2 số thực thoả $\left\{\begin{matrix} 2y & \geq &x^2 \\ y & \leq & -2x^2+3x \end{matrix}\right.$

             Tìm Max của $P=x^2+y^2$

[25 minutes]

Bài 28: Cho $x$ và $y$ là 2 số dương thoả $x^3+y^3\leq 2$. Tìm Max cua $P=x^2+y^2$

Bài này thì dùng AM-GM luôn ch0 nhanh

Ta có  $x^3+x^3+1\geqslant 3x^2$

           $y^3+y^3+1 \geqslant 3y^2$

Cộng 2 bất đẳng thức trên lại ta có $3(x^2+y^2) \leqslant 2(x^3+y^3)+2 \leqslant 2.2+2=6$

            $\Rightarrow x^2+y^2 \leqslant 2$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=1$

[25 minutes]

Lâu quá chưa thấy Topic hoạt động, xin vực dậy Topic nhé!

$\fbox{Bài 25.}$ Chứng minh rằng với $0<a<b<\dfrac{\pi}{2},$ ta luôn có: $$a\tan b>b\tan a$$

Chia cả 2 vế ch0 $ab$ ta được bất đẳng thức tương đương với $\frac{\tan b }{b}>\frac{\tan a}{a}$

Xét hàm $f(x)=\frac{\tan x}{x}, x \in (0;\frac{\pi}{2})$

Ta sẽ chứng minh $f(x)$ đồng biến trên khoảng này 

Ta có $f'(x)=\frac{\frac{x}{\cos^2x}-\tan x}{x^2}=\frac{x-\sin x \cos x}{x^2 \cos^2x}$

Ta cần chứng minh $f'(x)=\frac{x-\sin x \cos x}{x^2 \cos^2x}> 0\Leftrightarrow x-\sin x \cos x> 0$

Xét $g(x)=x-\sin x \cos x\Rightarrow g'(x)=2(1-\cos 2x)>0$

$\Rightarrow g(x)>g(0)=0$

$\Rightarrow f'(x)>0$

Do đó ta có $f(a) <f(b)$ do $0<a<b<\frac{\pi}{2}$

       $\Rightarrow \frac{\tan b}{b}>\frac{\tan a}{a}\Rightarrow a\tan b > b \tan a$