Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Sử dụng đạo hàm để giải bất đẳng thức.

luyện thi đại học-cao đẳng

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 94 trả lời

#21 Tran Hoai Nghia

Tran Hoai Nghia

    UNEXPECTED PLEASURE.

  • Thành viên
  • 431 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tân Phú, TP.HCM
  • Sở thích:Giải toán.

Đã gửi 11-01-2013 - 18:37

bài 11:tìm min, max của biểu thức:
$P=\frac{a^{4}}{b^{4}}+\frac{b^{4}}{a^{4}}-\left ( \frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}} \right )+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}(ab\neq 0)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tran hoai nghia: 11-01-2013 - 18:38

SÁCH CHUYÊN TOÁN, LÝ , HÓA  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2: 
https://www.facebook...toanchuyenkhao/


#22 BoFaKe

BoFaKe

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 613 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sicily Italia !

Đã gửi 11-01-2013 - 22:48

bài 11:tìm min, max của biểu thức:
$P=\frac{a^{4}}{b^{4}}+\frac{b^{4}}{a^{4}}-\left ( \frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}} \right )+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}(ab\neq 0)$

Ta có :$\frac{a^{4}}{b^{4}}+\frac{b^{4}}{a^{4}}= (\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}})^{2}-2= ((\frac{a}{b}+\frac{b}{a})^{2}-2)^{2}-2$
$\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}= (\frac{a}{b}+\frac{b}{a})^{2}-2$
Đặt $x= \frac{a}{b}+\frac{b}{a}$ thì $P=(x^{2}-2)^{2}-x^{2}+x= x^{4}-5x^{2}+x+4$
với $\left | x \right |\geq 2$.Đến đây ta chỉ việc khảo sát hàm số thôi. :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BoFaKe: 11-01-2013 - 22:50

~~~~~~~~~~~~~~Tiếc gì mà không click vào nút like mọi ngươì nhỉ ^0^~~~~~~~~~~~~~

#23 Tran Hoai Nghia

Tran Hoai Nghia

    UNEXPECTED PLEASURE.

  • Thành viên
  • 431 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tân Phú, TP.HCM
  • Sở thích:Giải toán.

Đã gửi 13-01-2013 - 15:08

bài 12:Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC nhọn, ta có:$\frac{12R}{\pi }< \frac{ab}{l_{c}}+\frac{bc}{l_{a}}+\frac{ca}{l_{b}}< 3\pi R$
bài này dùng đạo hàm ấy! :closedeyes: ~O)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tran hoai nghia: 13-01-2013 - 20:11

SÁCH CHUYÊN TOÁN, LÝ , HÓA  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2: 
https://www.facebook...toanchuyenkhao/


#24 tramyvodoi

tramyvodoi

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1044 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hồ Chí Minh
  • Sở thích:dota, học toán

Đã gửi 13-01-2013 - 20:13

Bài 13
Cho 3 số thực không âm đôi một khác nhau a, b, c. Tìm min của biểu thức:
$P=((a+b)^{2}+(b+c)^{2}+(c+a)^{2})(\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 21-01-2013 - 18:34


#25 viet 1846

viet 1846

    Gà con

  • Thành viên
  • 228 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TH Lê Văn Tám

Đã gửi 14-01-2013 - 21:33

Thấy topic này hay hay mà nó trầm trầm nên góp 1 bài.

Bài 14: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $\dfrac{4}{5}b\ge a-c\ge \dfrac{3}{5}b$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:


\[P=\dfrac{12(a-b)}{c}+\dfrac{12(b-c)}{a}+\dfrac{25(c-a)}{b}\].

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 21-01-2013 - 18:34


#26 hoangkkk

hoangkkk

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An

Đã gửi 14-01-2013 - 22:48

Bài 12 và 13 đều đã có lời giải trong topic này : http://diendantoanho...13/page__st__20
Theo ý kiến của riêng của mình thì có thể gộp chung hai topic Ôn thi đại học 2013Sử dụng đạo hàm để giải bất đẳng thức lại làm một topic được không ,bởi hai topic này cùng chung nội dung và mục đích.

A2K40-er

My Blog : http://a2k40pbc.blogspot.com/


#27 Tran Hoai Nghia

Tran Hoai Nghia

    UNEXPECTED PLEASURE.

  • Thành viên
  • 431 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tân Phú, TP.HCM
  • Sở thích:Giải toán.

Đã gửi 15-01-2013 - 18:20

bài 15:cho n là số nguyên dương, chứng minh rằng:
$1+x+\frac{1}{x^{n}}\geqslant 3(\frac{3}{2x+1})^{\frac{n-1}{2}}\forall x\in \mathbb{N}^{*}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 21-01-2013 - 18:35

SÁCH CHUYÊN TOÁN, LÝ , HÓA  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2: 
https://www.facebook...toanchuyenkhao/


#28 viet 1846

viet 1846

    Gà con

  • Thành viên
  • 228 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TH Lê Văn Tám

Đã gửi 15-01-2013 - 18:56

Bài 12 và 13 đều đã có lời giải trong topic này : http://diendantoanho...13/page__st__20
Theo ý kiến của riêng của mình thì có thể gộp chung hai topic Ôn thi đại học 2013Sử dụng đạo hàm để giải bất đẳng thức lại làm một topic được không ,bởi hai topic này cùng chung nội dung và mục đích.


Bài 13 là mình với thầy Phạm Tuấn Khải ra cho đề thi thử của Boxmath, Lời giải bên kia bạn đưa là của mình. Còn đấy là cách làm của thầy Khải. :D


Từ giả thuyết, ta có :
$b+c-a\ge \dfrac{1}{5}b>0$; $a+b-c\ge \dfrac{8}{5}b>0$
- Xét trường hợp $c+a-b>0$
$\begin{aligned}
& -\dfrac{P}{2}=\dfrac{12(b+c-a)}{2c}+\dfrac{12(c+a-b)}{2a}+\dfrac{25(a+b-c)}{2b}-\dfrac{49}{2} \\
& =\dfrac{12(b+c-a)}{\left( b+c-a \right)+\left( c+a-b \right)}+\dfrac{12(c+a-b)}{\left( c+a-b \right)+\left( a+b-c \right)}+\dfrac{25(a+b-c)}{\left( a+b-c \right)+\left( b+c-a \right)}-\dfrac{49}{2} \\
\end{aligned}$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& x=b+c-a \\
& y=c+a-b \\
& z=a+b-c \\
\end{aligned} \right.\begin{matrix}
{} & \left( x,y,z>0 \right) \\
\end{matrix}$
Với $a\ge \dfrac{3}{5}b+c\Rightarrow 5a\ge 3b+5c\Leftrightarrow a+b-c\ge 4b+4c-4a\Leftrightarrow z\ge 4x\Rightarrow \dfrac{z}{x}\ge 4$ hay $\dfrac{x}{z}\le \dfrac{1}{4}$
Với $\dfrac{4}{5}b+c\ge a\Rightarrow 8b+10c\ge 10a\Leftrightarrow 9b+9c-9a\ge a+b-c\Leftrightarrow 9x\ge z\Rightarrow \dfrac{x}{z}\ge \dfrac{1}{9}$
Ta có:
$-\dfrac{P}{2}= \dfrac{12x} {x+y}+ \dfrac{12y} {y+z}+ \dfrac{25z} {z+x}- \dfrac{49} {2}=12\left( \dfrac{1}{1+ \dfrac{y} {x}}+\dfrac{1}{1+\dfrac{z}{y}} \right)+\dfrac{25}{1+ \dfrac{x} {z}}-\dfrac{49}{2}$
$\ge \dfrac{24}{1+\sqrt{\dfrac{z}{x}}}+\dfrac{25}{1+ \dfrac{x} {z}}-\dfrac{49}{2}=\dfrac{24\sqrt{ \dfrac{x} {z}}}{1+\sqrt{ \dfrac{x} {z}}}+\dfrac{25}{1+\dfrac{x}{z}}-\dfrac{49}{2}$ (Do $\dfrac{z}{x}\ge 4>1$)
Xét hàm số $f(t)=\dfrac{24t}{1+t}+\dfrac{25}{1+{{t}^{2}}}-\dfrac{49}{2}$ với $t=\sqrt{\dfrac{x}{z}}$,$\dfrac{1}{3}\le t\le \dfrac{1}{2}$.
Ta có $f'\left( t \right)=\dfrac{\left( 3t-1 \right)\left( t-3 \right)\left( 8{{t}^{2}}+15t+8 \right)}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}{{\left( {{t}^{2}}+1 \right)}^{2}}}\le 0$ $\forall t\in \left[ \dfrac{1}{3};\dfrac{1}{2} \right]$
Hàm số $f\left( t \right)$ nghịch biến trên $\left[ \dfrac{1}{3};\dfrac{1}{2} \right]$. Do đó $f\left( t \right)\ge f\left( \dfrac{1}{2} \right)=\dfrac{7}{2}\Rightarrow P\le -7$
- Xét trường hợp $c+a-b\le 0$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& a-b\le -c \\
& c-a\le -\dfrac{3}{5}b \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow P\le -12-15+\dfrac{12(b-c)}{a}<-27+\dfrac{12b}{a}$
Mà $\dfrac{3}{5}b\le a-c<a\Rightarrow b<\dfrac{5}{3}a$. Do đó $P<-27+20=-7$
Vậy giá trị lớn nhất của $P$ bằng $-7$.
Dấu $“=”$ xảy ra khi $\left\{ \begin{aligned}
& {{y}^{2}}=xz \\
& z=4x \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y=2x \\
& z=4x \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3b+c=3a \\
& 3b+5c=5a \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=2c \\
& b=\dfrac{5}{3}c \\
\end{aligned} \right.$.



#29 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 15-01-2013 - 22:49

Góp 1 bài :)
Bài 5:
Cho $a,b,c$ không âm,$a+b+c=1$.Chứng minh:
$a(b-c)^4+b(c-a)^4+c(a-b)^4 \leq \frac{1}{12}$
p/s:bài trên có thế làm cách khác nhưng giải đúng theo tư tưởng của topic nhé!

Cách này không dùng KSHS

Không mất tổng quát giả sử $z=\min\{x,y,z\}.$ Ta có
$x(y-z)^4\le xy(y-z)^3;\qquad y(z-x)^4\le xy(x-z)^3,$

$\begin{aligned}z(x-y)^4&\le z(x-y)^2[(x-y)^2+(z-x)(z-y)]\\&\le z(x+y)(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx).\end{aligned}$
Suy ra
$\begin{aligned}x{{(y-z)}^{4}}+y{{(z-x)}^{4}}+z{{(x-y)}^{4}}&\le xy[(y-z)^3+(x-z)^3]+z(x+y)(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)\\&=[xy(x+y-2z)+z(x+y)](x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)\\&\le(xy+yz+zx)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx).\end{aligned}$
Mặt khác, ta lại có
$\begin{aligned}\left(\sum xy\right)\left(\sum x^2-\sum xy\right)&=\frac{1}{3}\cdot 3\left(\sum xy\right)\cdot\left(\sum x^2-\sum xy\right)\\&\le \frac{1}{12}\cdot\left(\sum x^2+2\sum xy\right)^2=\frac{1}{12}.\end{aligned}$
Từ đây ta dễ dàng suy ra điều cần chứng minh.
$\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 15-01-2013 - 22:49

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#30 tramyvodoi

tramyvodoi

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1044 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hồ Chí Minh
  • Sở thích:dota, học toán

Đã gửi 17-01-2013 - 22:25

Bài 16:
Cho 2 số thực x, y thỏa: $2(x^{2}+y^{2})=xy+1$.
Tìm GTNN và GTLN của $P=\frac{x^{4}+y^{4}}{2xy+1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 21-01-2013 - 18:35


#31 provotinhvip

provotinhvip

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 181 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 19-01-2013 - 09:03

Không mất tổng quát giả sử $z=\min\{x,y,z\}.$ Ta có
$x(y-z)^4\le xy(y-z)^3;\qquad y(z-x)^4\le xy(x-z)^3,$

Cho mình hỏi ý nghĩa của việc giả sử $z=\min\{x,y,z\}.$ và cách phân tích $x(y-z)^4\le xy(y-z)^3;\qquad y(z-x)^4\le xy(x-z)^3,$ được không? mình không hiểu???
$z=\min\{x,y,z\}$ $\Leftrightarrow x\geq y\geq z$ phải không ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 21-01-2013 - 18:36

Hình đã gửi


#32 Tran Hoai Nghia

Tran Hoai Nghia

    UNEXPECTED PLEASURE.

  • Thành viên
  • 431 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tân Phú, TP.HCM
  • Sở thích:Giải toán.

Đã gửi 20-01-2013 - 09:13

$z=\min\{x,y,z\}.$ cái này là giả sử z là số nhỏ nhất trong 3 số trên thôi.Bạn có thể đặt là $x=\min\{x,y,z\}.$ hoặc $y=\min\{x,y,z\}.$ cũng không thay đổi tính tổng quát của bài toán.
$x(y-z)^4\le xy(y-z)^3;\qquad y(z-x)^4\le xy(x-z)^3\Leftrightarrow y-z\leqslant y\Leftrightarrow z\geqslant 0$
cái kia tương tự nhé.

SÁCH CHUYÊN TOÁN, LÝ , HÓA  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2: 
https://www.facebook...toanchuyenkhao/


#33 tramyvodoi

tramyvodoi

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1044 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hồ Chí Minh
  • Sở thích:dota, học toán

Đã gửi 21-01-2013 - 18:40

Bài $17$ :
Cho $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. Chứng minh rằng :
$\text{a})$ $\sin \alpha > \alpha - \frac{\alpha^{3}}{6}$.
$\text{b)}$ $\sin \alpha > \frac{2\alpha}{\pi}$.
$\text{c)}$ $\alpha \sin \alpha + \cos \alpha > 1$.
$\text{d)}$ $2^{\sin \alpha} + 2^{\tan \alpha} > 2^{\alpha + 1}$.

#34 Tran Hoai Nghia

Tran Hoai Nghia

    UNEXPECTED PLEASURE.

  • Thành viên
  • 431 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tân Phú, TP.HCM
  • Sở thích:Giải toán.

Đã gửi 09-02-2013 - 17:20

Bài $17$ :
Cho $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. Chứng minh rằng :
$\text{a})$ $\sin \alpha > \alpha - \frac{\alpha^{3}}{6}$.
$\text{b)}$ $\sin \alpha > \frac{2\alpha}{\pi}$.
$\text{c)}$ $\alpha \sin \alpha + \cos \alpha > 1$.
$\text{d)}$ $2^{\sin \alpha} + 2^{\tan \alpha} > 2^{\alpha + 1}$.

với $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ thì$\sin x,\cos x> 0$.
a/$y=\frac{\alpha ^{3}}{6}+\sin \alpha -\alpha \Rightarrow y'=\frac{\alpha ^{2}}{2}+\cos \alpha -1\Rightarrow y''=\alpha -\sin \alpha\Rightarrow y'''=1-\cos \alpha > 0\Rightarrow y''>y''(0)=0\Rightarrow y'> y'(0)=0\Rightarrow y> y(0)=0\Rightarrow dpcm$
b/ tương tự.
c/ tương tự.
d/$2^{\sin \alpha} + 2^{\tan \alpha} \geqslant 2\sqrt{2^{\sin \alpha +\tan \alpha }}=2^{\frac{\sin \alpha +\tan \alpha }{2}+1}$
ta chỉ cần chứng minh $\frac{\sin \alpha +\tan \alpha }{2}+1> \alpha +1\Leftrightarrow \frac{\sin \alpha +\tan \alpha }{2}-\alpha >0$
đến đây thì chỉ cần dùng đạo hàm như những câu trên.

SÁCH CHUYÊN TOÁN, LÝ , HÓA  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2: 
https://www.facebook...toanchuyenkhao/


#35 Tran Hoai Nghia

Tran Hoai Nghia

    UNEXPECTED PLEASURE.

  • Thành viên
  • 431 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tân Phú, TP.HCM
  • Sở thích:Giải toán.

Đã gửi 14-02-2013 - 16:55

Chứng minh rằng $1+\ln n>\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}>\ln (n+1)\forall n\in N^{^{*}}$
tui thấy cái này áp dụng khác hơn mấy bài trước, nên tui đưa vô để topic không nhàm chán :icon6:

SÁCH CHUYÊN TOÁN, LÝ , HÓA  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2: 
https://www.facebook...toanchuyenkhao/


#36 tramyvodoi

tramyvodoi

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1044 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hồ Chí Minh
  • Sở thích:dota, học toán

Đã gửi 14-02-2013 - 20:20

Bài 18:
Cho hàm số $y=\sqrt{2sinx-1}+\sqrt{2cosx-1}$
Tìm min và max của y

#37 ngocsont4

ngocsont4

    Lính mới

  • Thành viên
  • 6 Bài viết

Đã gửi 18-02-2013 - 23:03

Bài 16: Cho 2 số thực x, y thỏa: $2(x^{2}+y^{2})=xy+1$. Tìm GTNN và GTLN của $P=\frac{x^{4}+y^{4}}{2xy+1}$

Lần đâu mình trình bày, nếu có sai sót mong các bạn giúp đỡ Từ điều kiện ta có 4(x^{2}+y^{2})^{2}=(xy+1)^{2} vây: 4(x^{4}+y^{4})=-7x^{2}y^{2}+2xy+1..
$P=\frac{-7x^{2}y^{2}+2xy+1}{4(2xy+1)}$
đặt t=xy, với T,= 1/3, vì 2(x^{2}+y^{2})>=4xy.
khi đó $f(t)=\frac{-7t^{2}+2t+1}{4(2t+1)}$
$f'(t)=\frac{-14t^{2}-14t}{4(2t+1)^{2}}$
vậy t=0 hoắc t=-1
f(0)=1/4; f(-1)=2;f(1/3)=2/15
minP=2/15 khi xy=1/3-->x,y
max P=2 khi xy=-1--> x,y
Mình không biết cách đánh công thức..sai sot còn nhìu thông cảm

#38 ngocsont4

ngocsont4

    Lính mới

  • Thành viên
  • 6 Bài viết

Đã gửi 18-02-2013 - 23:07

Bài 16:
Cho 2 số thực x, y thỏa: $2(x^{2}+y^{2})=xy+1$.
Tìm GTNN và GTLN của $P=\frac{x^{4}+y^{4}}{2xy+1}$

do mình không biết cách công thức...nên ko thê trình bày cách giãi
đành nêu ngắn gọn...đặt t=xy...từ đó ta sẽ có f(t)...f'(t)=o suy ra t=0 hoắc t=-1; ( t nhỏ hơn bằng 1/3)
min P =2/15 khi xy=1/3
max P =2 khi xy=-1
suy ra x,y chắc ko khó

#39 tramyvodoi

tramyvodoi

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1044 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hồ Chí Minh
  • Sở thích:dota, học toán

Đã gửi 20-02-2013 - 12:29

Bài 19:
Cho a,b,c là 3 số thực thỏa: $\left\{\begin{matrix} a+b+c=0 & \\ a^{2}+b^{2}+c^{2}=1 & \end{matrix}\right.$
Tìm max của:$a^{5}+b^{5}+c^{5}$

#40 provotinhvip

provotinhvip

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 181 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-02-2013 - 12:41

Bài 19:
Cho a,b,c là 3 số thực thỏa: $\left\{\begin{matrix} a+b+c=0 & \\ a^{2}+b^{2}+c^{2}=1 & \end{matrix}\right.$
Tìm max của:$a^{5}+b^{5}+c^{5}$

Ế! đây là đề ĐH khối b 2012 mà!!

Hình đã gửi





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh