Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Sử dụng đạo hàm để giải bất đẳng thức.

luyện thi đại học-cao đẳng

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 94 trả lời

#41 tramyvodoi

tramyvodoi

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1044 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hồ Chí Minh
  • Sở thích:dota, học toán

Đã gửi 20-02-2013 - 18:52

m lam theo cach dồn biến được không nhi~
đặt t=(x+y)/2, s=(x-y)/2
từ đó ta có x=t+s; y=t-s: z=-2t
dự vào x^2+y^2+z^2=1 suy ra dc s^2=(1-6t^2)/2
thây thế x ,y,z vào x^5+y^5+z^5 theo s va t...sau do thay s theo t...ta dc bieu thuc
f(t)=-20t^3+5/2t
sử dụng đạo hàm..t se dc kết quả

Mục tiêu của mình là ôn luyện để thi đại học. Bài này có thể giải chỉ bằng những biến đổi biền thường kèm theo dùng đạo hàm. bạn thủ suy nghĩ nhé. Cám ơn bạn đã tham gia topic. Bạn cũng chưa dùng Latex, và cũng chưa gõ có dấu. Bạn xem trên forum cách gõ công thức Latex và hãy sữa lại bài viết nha.

#42 dtvanbinh

dtvanbinh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 122 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Bắc Giang

Đã gửi 20-02-2013 - 20:56

Đây là 1 bài toán mà thằng bạn mình nó hỏi mình. Mình thấy hay nên post lên thôi.

em mạnh dạn làm phát theo đạo hàm
từ giả thiết ta có
$a+b=-c$
thay vào ta có $ab=c^{2}-\frac{1}{2}$
nên có ngay $a^{2}+b^{2}+ab=\frac{1}{2}$
thay vào biểu thức ta có
$a^{5}+b^{5}+c^{5}=a^{5}+b^{5}-(a+b)^{5}=-(a^{4}b+b^{4}a+a^{2}b^{3}+a^{3}b^{2}+\frac{3}{2}ab(a+b))=-ab(a+b)(ab+2)\leq ab2\sqrt{ab}(ab+2)$
đến đây khảo sát hàm 1 biến

$(2x^{2}+2y^{2}+z^{2}-1)^{3}-\frac{1}{10}x^{2}z^{3}-y^{2}z^{3}=0$

 

$(x^{2}+\frac{9}{4}y^{2}+z^{2}-1)^{3}-x^{2}z^{3}-\frac{9}{80}y^{2}z^{3}=0$

 

                                                            

                                                             


#43 trungdung97

trungdung97

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 181 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K46 THPT chuyên ĐH Vinh

Đã gửi 22-02-2013 - 17:51

cho góp 1 bài với
Cho x,y thõa mãn $1\geq x^{2}\geq y> 0$ .CMR $xy+\, 9y+91\geq 101x$

#44 Tran Hoai Nghia

Tran Hoai Nghia

    UNEXPECTED PLEASURE.

  • Thành viên
  • 431 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tân Phú, TP.HCM
  • Sở thích:Giải toán.

Đã gửi 23-03-2013 - 13:11

thấy chỉ dùng đạo hàm thì ngán wa, tui bổ sung dùng định lí lagrange chứng minh bdt nè:
bài 20:Chứng minh rằng với mọi $x\geq 2$ luôn có:
$(x+1)\cos \frac{\pi }{x+1}-x\cos \frac{\pi }{x}> 1$
bài 21:Cho các số thực dương a,b,c,d thoả mãn
$\left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}+c^{2}=d^{2}+e^{2} & \\ a^{4}+b^{4}+c^{4}=d^{4}+e^{4}& \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng:$a^{3}+b^{3}+c^{3}< d^{3}+e^{3}$.
bài 21 còn sử dụng định lí rolle.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tran hoai nghia: 23-03-2013 - 13:13

SÁCH CHUYÊN TOÁN, LÝ , HÓA  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2: 
https://www.facebook...toanchuyenkhao/


#45 Mai Xuan Son

Mai Xuan Son

    Vagrant

  • Thành viên
  • 274 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quảng Bình

Đã gửi 23-03-2013 - 13:15

Đăng 1 bài góp vui ^_^ không biết lặp chưa
Bài 22
Cho $a,b,c\geq 0$
Tìm $\min$ của 
$P=[(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2].[\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(a-c)^2}]$
~~~like phát~~~

#46 nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vted.vn

Đã gửi 28-03-2013 - 17:48

Đăng 1 bài góp vui ^_^ không biết lặp chưa
Bài 22
Cho $a,b,c\geq 0$
Tìm $\min$ của 
$P=[(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2].[\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(a-c)^2}]$

 

 

Không mất tính tổng quát, giả sử $a \geq b \geq c \geq 0$
Ta có \[P'_c= \left( 4\,a+2\,b+2\,c \right)  \left(  \left( a-b \right) ^{-2}+ \left( b-c \right) ^{-2}+ \left( c-a \right) ^{-2} \right) - \left(  \left( a+b \right) ^{2}+ \left( b+c \right) ^{2}+ \left( c+a \right) ^{2} \right)  \left( 2\, \left( a-b \right) ^{-3}-2\, \left( c-a \right) ^{-3} \right) \\=\left(  \left( a-b \right) ^{2}+ \left( b-c \right) ^{2}+ \left( c-a \right) ^{2} \right)  \left( {\frac { \left( 2\,a+b+c \right)  \left( {a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}-ab-bc-ca \right) }{ \left( a-b \right) ^{2} \left( b-c \right) ^{2} \left( a-c \right) ^{2}}}-{\frac { \left( 2\,a-c-b \right)  \left(  \left( a+b \right) ^{2}+ \left( b+c \right) ^{2}+ \left( c+a \right) ^{2} \right) }{ \left( a-b \right) ^{3} \left( a-c \right) ^{3}}} \right) >0\]
Suy ra $P_{\min}$ khi và chỉ khi $c=0$
Khi đó $$P_{c=0}=\frac{1}{16}\,{\frac { \left( 2\,{b}^{2}+3\,ab+ba\sqrt {33}+2\,{a}^{2}\right)  \left( 4\,{b}^{2}-5\,ab-ba\sqrt {33}+4\,{a}^{2} \right) ^{2}}{{b}^{2} \left( b-a \right) ^{2}{a}^{2}}}+{\frac {59}{4}}+\frac{11}{4}\,\sqrt {33}\geq{\frac {59}{4}}+ \frac{11}{4}\,\sqrt {33}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 28-03-2013 - 17:53

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#47 tramyvodoi

tramyvodoi

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1044 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hồ Chí Minh
  • Sở thích:dota, học toán

Đã gửi 02-05-2013 - 18:45

Bài 23: Cho các số thực x,y,z, thỏa $\left\{\begin{matrix} x+y+z=6 & \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=14 & \end{matrix}\right.$

Tìm max, min $\frac{4x+y}{z}$

Nguồn: 143 bài bdt luyện thi đại học của thầy Trần Bá Thịnh


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 02-05-2013 - 19:11


#48 hathanh123

hathanh123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 156 Bài viết

Đã gửi 11-05-2013 - 05:13

Bài 23: Cho các số thực x,y,z, thỏa $\left\{\begin{matrix} x+y+z=6 & \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=14 & \end{matrix}\right.$

Tìm max, min $\frac{4x+y}{z}$

Nguồn: 143 bài bdt luyện thi đại học của thầy Trần Bá Thịnh

Bạn xem cách giải của Anh Cẩn.

File gửi kèm



#49 e331990

e331990

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết

Đã gửi 10-06-2013 - 16:29

http://diendantoanho...o-hàm/?p=425501

các bạn ơi mình làm bài này bằng đạo hàm mà không ra. mọi người giúp với


E33


#50 Tran Hoai Nghia

Tran Hoai Nghia

    UNEXPECTED PLEASURE.

  • Thành viên
  • 431 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tân Phú, TP.HCM
  • Sở thích:Giải toán.

Đã gửi 12-07-2013 - 19:28

Bài 24:Cho x,y,z là 3 số thực thuộc đoạn $\left [ 1,3 \right ]$ và $x+y+2z=6$.Tìm min và max của biểu thức:

$P=x^{3}+y^{3}+5z^{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanquockhanh: 12-07-2013 - 20:33

SÁCH CHUYÊN TOÁN, LÝ , HÓA  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2: 
https://www.facebook...toanchuyenkhao/


#51 Alexman113

Alexman113

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 666 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 21-07-2013 - 21:42

Lâu quá chưa thấy Topic hoạt động, xin vực dậy Topic nhé!

$\fbox{Bài 25.}$ Chứng minh rằng với $0<a<b<\dfrac{\pi}{2},$ ta luôn có: $$a\tan b>b\tan a$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Alexman113: 21-07-2013 - 23:38

KK09XI~ Nothing fails like succcess ~

#52 Alexman113

Alexman113

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 666 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 21-07-2013 - 21:54

$\fbox{Bài 26.}$ Chứng minh rằng với $0<x<\dfrac{\pi}{2},$ ta luôn có: $$\cos x<1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Alexman113: 21-07-2013 - 23:38

KK09XI~ Nothing fails like succcess ~

#53 Alexman113

Alexman113

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 666 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 21-07-2013 - 21:58

$\fbox{Bài 27.}$ Chứng minh rằng với $\forall x\in\left(0;\,\dfrac{\pi}{2}\right),$ ta luôn có: $$\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^3>\cos x$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Alexman113: 21-07-2013 - 23:31

KK09XI~ Nothing fails like succcess ~

#54 SOYA264

SOYA264

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 179 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi ấy!!!

Đã gửi 22-07-2013 - 09:11



$\fbox{Bài 26.}$ Chứng minh rằng với $0<x<\dfrac{\pi}{2},$ ta luôn có: $$\cos x<1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}$$

Xét hàm: $f(x)=\frac{x^{4}}{24}-\frac{x^{2}}{2}+1-cosx$ trên $D=(0;\frac{\Pi }{2})$

 

Ta có: $f'(x)=\frac{x^{3}}{6}-x+sinx$

           

           $f''(x)=\frac{x^2}{2}-1+cosx$

           

           $f^{(3)}(x)=x-sinx$

           

           $f^{(4)}(x)=1-cosx> 0,\forall x\in(0;\frac{\Pi }{2})$

 

$\Rightarrow f^{(3)}(x)$ đồng biến trên $(0;\frac{\Pi }{2})$ $\Rightarrow f^{(3)}(x)> f^{(3)}(x)=0$

 

Lập luận tượng tự,ta đi đến $f(x)> f(0)=0$

 

Ta được đpcm ^_^


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SOYA264: 22-07-2013 - 09:12


#55 SOYA264

SOYA264

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 179 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi ấy!!!

Đã gửi 22-07-2013 - 10:01



http://diendantoanho...o-hàm/?p=425501

các bạn ơi mình làm bài này bằng đạo hàm mà không ra. mọi người giúp với

Mình copy đề từ bên ấy qua nhé! Đánh số vô cho đúng "luật" :lol:

Bài 27:1.cho x,y,z không âm và x+y+z=1 chứng minh:$0\leqslant xy+yz+zx-3xyz\leqslant\frac{1}{4}$

Giải:
Vì vai trò của các biến như nhau nên không mất tính tổng quát, giả sử x=min{x;y;z}$\Rightarrow x\leq \frac{1}{3}$

 

P=$x+y+z-3xyz$=$x(y+z)+yz(1-3x)\leq x(y+z)+\frac{(y+z)^{2}}{4}(1-3x)=x(1- x)+\frac{(1-x)^{2}}{4}(1-3x)=\frac{1}{4}(-3x^3+3x^2-x+1)$

 

Xét hàm: $f(x)=-3x^3+3x^2-x+1$ trên $[0;\frac{1}{3}]$

 

$f'(x)=-9x^2+6x-1=-(3x-1)^{2}=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}$

 

Hàm $f(x)$nghịch biến trên $[0;\frac{1}{3}]$

 

$\Rightarrow f(x)\leq f(0)=1$

 

Vậy max $P=\frac{1}{4}$,đạt được khi $(x;y;z)=(0;\frac{1}{2};\frac{1}{2})$ và các hoán vị

P/S: Ừ, mình nhầm, cảm ơn BoFaKe nhé!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SOYA264: 22-07-2013 - 12:01


#56 BoFaKe

BoFaKe

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 613 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sicily Italia !

Đã gửi 22-07-2013 - 10:12

 

Đánh số vô cho đúng "luật" :lol:

Bài 27:1.cho x,y,z không âm và x+y+z=1 chứng minh:$0\leqslant xy+yz+zx-3xyz\leqslant\frac{1}{4}$

Giải:
Vì vai trò của các biến như nhau nên không mất tính tổng quát, giả sử x=min{x;y;z}$\Rightarrow x\leq \frac{1}{3}$

 

P=$x+y+z-3xyz$=$x(y+z)+yz(1-3x)\leq x(y+z)+\frac{(y+z)^{2}}{4}(1-3x)=x(1- x)+\frac{(1-x)^{2}}{4}(1-3x)=\frac{1}{4}(-3x^3+3x^2-x+1)$

 

Xét hàm: $f(x)=-3x^3+3x^2-x+1$ trên $[0;\frac{1}{3}]$

 

$f'(x)=-9x^2+6x-1=-(3x-1)^{2}=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}$

$f'(x)<0$ thì là hàm nghịch biến mà bạn,khi đó $f(x) \leq f(0)$


~~~~~~~~~~~~~~Tiếc gì mà không click vào nút like mọi ngươì nhỉ ^0^~~~~~~~~~~~~~

#57 vitconvuitinh

vitconvuitinh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 51 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 23-07-2013 - 07:31

Bài 28: Cho $x$ và $y$ là 2 số dương thoả $x^3+y^3\leq 2$. Tìm Max cua $P=x^2+y^2$


Nói với tôi, tôi sẽ quên. Chỉ cho tôi, tôi có thể nhớ. Hãy làm cho tôi xem và tôi sẽ hiểu


#58 vitconvuitinh

vitconvuitinh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 51 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 23-07-2013 - 07:38

Bài 29: Cho $x$ và $y$ là 2 số thực thoả $\left\{\begin{matrix} 2y & \geq &x^2 \\ y & \leq & -2x^2+3x \end{matrix}\right.$

             Tìm Max của $P=x^2+y^2$


Nói với tôi, tôi sẽ quên. Chỉ cho tôi, tôi có thể nhớ. Hãy làm cho tôi xem và tôi sẽ hiểu


#59 25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:KHTN-NEU
  • Sở thích:Cafe + radio + mưa

Đã gửi 23-07-2013 - 10:10

Bài 28: Cho $x$ và $y$ là 2 số dương thoả $x^3+y^3\leq 2$. Tìm Max cua $P=x^2+y^2$

Bài này thì dùng AM-GM luôn ch0 nhanh

Ta có  $x^3+x^3+1\geqslant 3x^2$

           $y^3+y^3+1 \geqslant 3y^2$

Cộng 2 bất đẳng thức trên lại ta có $3(x^2+y^2) \leqslant 2(x^3+y^3)+2 \leqslant 2.2+2=6$

            $\Rightarrow x^2+y^2 \leqslant 2$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=1$


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#60 25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:KHTN-NEU
  • Sở thích:Cafe + radio + mưa

Đã gửi 23-07-2013 - 10:27

Lâu quá chưa thấy Topic hoạt động, xin vực dậy Topic nhé!

$\fbox{Bài 25.}$ Chứng minh rằng với $0<a<b<\dfrac{\pi}{2},$ ta luôn có: $$a\tan b>b\tan a$$

Chia cả 2 vế ch0 $ab$ ta được bất đẳng thức tương đương với $\frac{\tan b }{b}>\frac{\tan a}{a}$

Xét hàm $f(x)=\frac{\tan x}{x}, x \in (0;\frac{\pi}{2})$

Ta sẽ chứng minh $f(x)$ đồng biến trên khoảng này 

Ta có $f'(x)=\frac{\frac{x}{\cos^2x}-\tan x}{x^2}=\frac{x-\sin x \cos x}{x^2 \cos^2x}$

Ta cần chứng minh $f'(x)=\frac{x-\sin x \cos x}{x^2 \cos^2x}> 0\Leftrightarrow x-\sin x \cos x> 0$

Xét $g(x)=x-\sin x \cos x\Rightarrow g'(x)=2(1-\cos 2x)>0$

$\Rightarrow g(x)>g(0)=0$

$\Rightarrow f'(x)>0$

Do đó ta có $f(a) <f(b)$ do $0<a<b<\frac{\pi}{2}$

       $\Rightarrow \frac{\tan b}{b}>\frac{\tan a}{a}\Rightarrow a\tan b > b \tan a$


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh