Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Sử dụng đạo hàm để giải bất đẳng thức.

luyện thi đại học-cao đẳng

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 94 trả lời

#81 25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:KHTN-NEU
  • Sở thích:Cafe + radio + mưa

Đã gửi 14-06-2014 - 13:02

Góp vui chút. Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix}x,y,z \epsilon [1;9] &  & \\ x\geq y,x\geq z &  & \end{matrix}\right.$

Tìm GTLN và GTNN của $P=\frac{x}{x+2y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}$

Ta có $P=\frac{1}{1+\frac{2y}{x}}+\frac{1}{1+\frac{z}{y}}+\frac{1}{1+\frac{x}{z}}\geqslant \frac{1}{1+\frac{2y}{x}}+\frac{2}{1+\sqrt{\frac{x}{y}}}$

Đặt $t=\sqrt{\frac{x}{y}}\Rightarrow t \in \left [ 1;3 \right ]$, do $1 \leqslant y \leqslant x \leqslant 9$

Khi đó $P\geqslant f(t)=\frac{1}{1+\frac{2}{t^2}}+\frac{2}{1+t}=\frac{t^2}{t^2+2}+\frac{2}{t+1}$

$\Rightarrow f'(t)=\frac{4t}{(t^2+2)^2}-\frac{2}{(t+1)^2}=0\Leftrightarrow t=2,t=\sqrt[3]{2}$

Lập bảng biến thiên ta có được 

    $P\geqslant f(t)\geqslant \frac{4}{3}\Leftrightarrow (a,b,c)=(4,1,2)$ ứng với $t=2$

P/S: Bài này không có max :)


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#82 dhdhn

dhdhn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 136 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Quá nhiều không thể kể hết!

Đã gửi 15-06-2014 - 20:53

Làm như bạn chỉ tìm được min với đk t $ <= $ 1 thôi chưa giải quyết được max

Do x2+y2=1+xy nên (x+y)2=1+3xy 

Từ đó nên xy $>=$ -1/3


 ------Trên bước đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng!-------


#83 dhdhn

dhdhn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 136 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Quá nhiều không thể kể hết!

Đã gửi 15-06-2014 - 21:01

Làm như bạn chỉ tìm được min với đk t $ <= $ 1 thôi chưa giải quyết được max

$x^{2}+y^{2}=1+xy \Rightarrow \left\{\begin{matrix}1+xy\geq 2xy & & \\ (x+y)^{2}=1+3xy\geq 0 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow \frac{-1}{3}\leq t\leq 1$


 ------Trên bước đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng!-------


#84 phamxuanquynhtb98

phamxuanquynhtb98

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

Đã gửi 24-02-2015 - 15:39

Mọi người giúp em bài này:Cho a, b, c không âm, a+b+c=1 chứng minh rằng: (ab)3+(bc)3+(ca)<=1/64



#85 Lam Ba Thinh

Lam Ba Thinh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 86 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn Bình Định

Đã gửi 13-07-2015 - 23:41

$$P=\frac{a}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b}{a^{2}+c^{2}}+\frac{c}{a^{2}+b^{2}}=\frac{a^2}{a(1-a^2)}+\frac{b^2}{b(1-b^2)}+\frac{c^2}{c(1-c^2)}$$
Xét hàm số $f(x)=x(1-x^2)$ với $x>0$
Ta có: $f'(x) =1-3x^2 ; f'(x) =0 \Leftrightarrow x=\frac{1}{\sqrt{3}}>0$
Từ bảng biến thiên ta có $f(x)\le \frac{2}{3\sqrt{3}}\,\,\forall x>0$
Khi đó $$P =\frac{a^2}{f(a)}+\frac{b^2}{f(b)}+\frac{c^2}{f( c)}\ge \frac{3\sqrt{3}}{2}(a^2+b^2+c^2)=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Tìm max?



#86 Dung Du Duong

Dung Du Duong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 426 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Học viện Kĩ thuật quân sự - MTA
  • Sở thích:Lập trình

Đã gửi 31-07-2015 - 21:13

Giúp e bài này với:1. Cho tam giác ABC nhọn, tìm MIN: P = tanA + 2tanB + 3tanC

                           2. Cho a,b > 0 và a+b+2$\sqrt{(a+2)(b+2)}$=12. Tìm MIN: A=$\frac{a^{3}}{b+2}+\frac{b^{3}}{a+2}+\frac{48}{a+b}$   


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dung Du Duong: 31-07-2015 - 21:15

              

              

                                                                               

 

 

 

 

 

 

 


#87 kimchitwinkle

kimchitwinkle

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 525 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 04-08-2015 - 18:13

Cho x,y thay đổi thỏa mãn : $x^{2}-xy+y^{2}=1$ . Tìm max và min của $P=\frac{\left ( x^{2} -1\right )^{2}+(y^{2}-1)^{2}+2xy(xy-1)+3}{x^{2}+y^{2}-3}$



#88 kudoshinichihv99

kudoshinichihv99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 850 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp 12A Trường THPT Hùng Vương-Phú Thọ
  • Sở thích:Có vk là một cô gái đeo kính :)

Đã gửi 01-02-2016 - 14:37

Cho x,y thay đổi thỏa mãn : $x^{2}-xy+y^{2}=1$ . Tìm max và min của $P=\frac{\left ( x^{2} -1\right )^{2}+(y^{2}-1)^{2}+2xy(xy-1)+3}{x^{2}+y^{2}-3}$

Ta có $P=\frac{x^4+y^4-2(x^2+y^2)+2+2x^2y^2-2xy+3}{xy-2}=\frac{(x^2+y^2)^2-2(xy+1)-2xy+5}{xy-2}=\frac{x^2y^2-2xy+4}{xy-2}$

Xét hàm $f(t)=\frac{t^2-2t+4}{t-2},với t=xy=x^2+y^2-1\geq 2xy-1<=>t\leq 1$,..


Làm việc sẽ giúp ta quên đi mọi nỗi buồn trong cuộc sống :icon12:  :like  :wub:   ~O)

  Like :like  Like  :like Like  :like 

  Hình học phẳng trong đề thi thử THPT Quốc Gia

  Quán Thơ VMF

  Ôn thi THPT Quốc Gia môn vật lý

  Hình học phẳng ôn thi THPT Quốc Gia

                                                         Vũ Hoàng 99 -FCA-


#89 HocLop

HocLop

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 19 Bài viết

Đã gửi 13-08-2018 - 17:32

Chứng minh rằng với mọi x ta đều có: cos$^2$(x - a) + sin$^2$(x - b) - 2cos(x - a).sin(x - b).sin(a - b) = cos$^2$(a - b).



#90 duyen040502

duyen040502

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:ngoại trừ TOÁN chỉ có TOÁN

Đã gửi 04-09-2018 - 14:58

cho góp ý bài 7 nhế: bạn thử x=1 thỏa $x> 0$ thì $\sin x< x-\frac{x^{3}}{6}$,vậy bất đẳng thức của bạn sai nhé! :(

ủa đúng mà bạn, sin(1) = 0,84......; 1-$\frac{1^{3}}{6}$ = 0,83......



#91 anny anh

anny anh

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 37 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hải Phòng
  • Sở thích:thích vân vân và cũng ghét mây mây

Đã gửi 24-09-2018 - 22:34

Cho a,b,c thực không âm t/m x+y+z=1

Tim Max P=$\frac{x-2}{3-y-z}+\frac{y-2}{3-x-z}+\frac{z-2}{3-x-y}+2x^2+2y^2+2z^2+xy+yz+xz$



#92 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1470 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 27-03-2019 - 10:02

$\it{2}$ bài được giải bằng đạo hàm trên $\lceil$ Diễn đàn Toán học $\rfloor$$:$

 

$\lceil$ https://diendantoanh...e-1#entry719851 $\rfloor$

 

 

 

Từ $\it{:}$ $\it{32}\,\it{x}^{\,\it{6}}+ \it{4}\,\it{y}^{\,\it{3}}= \it{1}\,\,\Rightarrow \,\,\it{(}\,\,\it{y}- \it{2}\,\it{x}^{\,\it{2}}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{x}- \frac{\it{1}}{\it{2}}\,\,\it{)}\leqq \it{0}\,\,,\,\,\it{(}\,\,\it{x}- \frac{\it{1}}{\it{2}}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{y}- \frac{\it{1}}{\it{2}}\,\,\it{)}\leqq \it{0}\,\,,\,\,{\it{y}}'= -\,\frac{\it{16}\,\it{x}^{\,\it{5}}}{\it{y}^{\,\it{2}}}$ $\it{.}$ Khi đó $\it{:}$
${\it{P}}'\it{(}\,\,\it{x}\,\,\it{)}=$ $\frac{{\it{[}\,\,\it{(}\,\,\it{2}\,\it{x}^{\,\it{2}}+ \it{y}+ \it{3}\,\,\it{)}^{\,\it{5}}\,\,\it{]}}'\it{[}\,\,\it{3}\it{(}\,\,\it{x}^{\,\it{2}}+ \it{y}^{\,\it{2}}\,\,\it{)}- \it{3}\it{(}\,\,\it{x}+ \it{y}\,\,\it{)}+ \it{2}\,\,\it{]}- {\it{[}\,\,\it{3}\it{(}\,\,\it{x}^{\,\it{2}}+ \it{y}^{\,\it{2}}\,\,\it{)}- \it{3}\it{(}\,\,\it{x}+ \it{y}\,\,\it{)}+ \it{2}\,\,\it{]}}'\it{(}\,\,\it{2}\,\it{x}^{\,\it{2}}+ \it{y}+ \it{3}\,\,\it{)}^{\,\it{5}}}{\it{[}\,\,\it{3}\it{(}\,\,\it{x}^{\,\it{2}}+ \it{y}^{\,\it{2}}\,\,\it{)}- \it{3}\it{(}\,\,\it{x}+ \it{y}\,\,\it{)}+ \it{2}\,\,\it{]}^{\,\it{2}}}$ $= $

$=$ $\frac{\it{5}\it{(}\,\,\it{2}\,\it{x}^{\,\it{2}}+ \it{y}+ \it{3}\,\,\it{)}^{\,\it{4}}\left ( \it{4}\,\it{x}- \it{16}\,\frac{\it{x}^{\,\it{5}}}{\it{y}^{\,\it{2}}} \right )\it{[}\,\,\it{3}\it{(}\,\,\it{x}^{\,\it{2}}+ \it{y}^{\,\it{2}}\,\,\it{)}- \it{3}\it{(}\,\,\it{x}+ \it{y}\,\,\it{)}+ \it{2}\,\,\it{]}- \left ( \it{6}\,\it{x}- \it{3}- \it{96}\,\frac{\it{x}^{\,\it{5}}}{\it{y}}+ \it{48}\,\frac{\it{x}^{\,\it{5}}}{\it{y}^{\,\it{2}}} \right )\it{(}\,\,\it{2}\,\it{x}^{\,\it{2}}+ \it{y}+ \it{3}\,\,\it{)}^{\,\it{5}}}{\it{[}\,\,\it{3}\it{(}\,\,\it{x}^{\,\it{2}}+ \it{y}^{\,\it{2}}\,\,\it{)}- \it{3}\it{(}\,\,\it{x}+ \it{y}\,\,\it{)}+ \it{2}\,\,\it{]}^{\,\it{2}}}$ $= $

$=$ $\frac{\it{(}\,\,\it{2}\,\it{x}^{\,\it{2}}+ \it{y}+ \it{3}\,\,\it{)}^{\,\it{4}}\it{\{}\,\,\it{20}\,\it{x}\it{(}\,\,\it{y}- \it{2}\,\it{x}^{\,\it{2}}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{y}+ \it{2}\,\it{x}^{\,\it{2}}\,\,\it{)}\it{[}\,\,\it{3}\it{(}\,\,\it{x}^{\,\it{2}}+ \it{y}^{\,\it{2}}\,\,\it{)}- \it{3}\it{(}\,\,\it{x}+ \it{y}\,\,\it{)}+ \it{2}\,\,\it{]}- \it{3}\it{[}\,\,\it{x}^{\,\it{5}}\it{(}\,\,\it{16}- \it{32}\,\it{y}\,\,\it{)}+ \it{y}^{\,\it{2}}\it{(}\,\,\it{2}\,\it{x}- \it{1}\,\,\it{)}\,\,\it{]}\,\,\it{\}}}{\it{y}^{\,\it{2}}\it{[}\,\,\it{3}\it{(}\,\,\it{x}^{\,\it{2}}+ \it{y}^{\,\it{2}}\,\,\it{)}- \it{3}\it{(}\,\,\it{x}+ \it{y}\,\,\it{)}+ \it{2}\,\,\it{]}^{\,\it{2}}}$

Dễ thấy ngay $\it{:}$ $\it{(}\,\,\it{x}- \frac{\it{1}}{\it{2}}\,\,\it{)}{\it{P}}'\it{(}\,\,\it{x}\,\,\it{)}\leqq \it{0}\,\,\Rightarrow \,\,\it{P}\it{(}\,\,\it{x}\,\,\it{)}\leqq \it{P}\it{(}\,\,\frac{\it{1}}{\it{2}}\,\,\it{)}= \it{2048}$




 

$\lceil$ Ý nghĩa hình học của đạo hàm $\it{(}$ $\it{!}$ $\it{)}$  ;) $\rfloor$

By H-a-i-D-a-n-g-e-l $\it{(}$ $\it{D-...-A-N-G}$ $\it{)}$

 

Từ $\it{:}$ $\it{x}^{\,\it{2}}+ \it{2}\,\it{y}^{\,\it{2}}= \frac{\it{8}}{\it{3}}\,\,\Rightarrow \,\,\it{(}\,\,\it{x}- \it{2}\,\it{y}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{x}- \frac{\it{4}}{\it{3}}\,\,\it{)}\geqq \it{0}\,\,,\,\,\it{2}\,{\it{y}}'= -\,\frac{\it{x}}{\it{y}}$ $\it{.}$ Đặt $\it{:}$ $\it{f}\,\it{(}\,\,\it{x}\,\,\it{)}= \it{7}\,\it{(}\,\,\it{x}+ \it{2}\,\it{y}\,\,\it{)}- \it{4}\,\sqrt{\it{x}^{\,\it{2}}+ \it{2}\,\it{xy}+ \it{8}\,\it{y}^{\,\it{2}}}$ $\it{.}$ Khi đó $\it{:}$

${\it{f}}'\,\it{(}\,\,\it{x}\,\,\it{)}= \it{7}\,\it{(}\,\,\it{1}+ \it{2}\,{\it{y}}'\,\,\it{)}- \frac{\it{4}\,\it{(}\,\,\it{2}\,\it{x}+ \it{2}\,\it{y}+ \it{2}\,\it{x}{\it{y}}'+ \it{16}\,\it{y}{\it{y}}'\,\,\it{)}}{\it{2}\,\sqrt{\it{x}^{\,\it{2}}+ \it{2}\,\it{xy}+ \it{8}\,\it{y}^{\,\it{2}}}}=$

$= \it{7}\,\it{(}\,\,\it{1}- \frac{\it{x}}{\it{y}}\,\,\it{)}- \frac{\it{2}\,\it{(}\,\,\it{2}\,\it{x}+ \it{2}\,\it{y}- \frac{\it{x}^{\,\it{2}}}{\it{y}}- \it{8}\,\it{x}\,\,\it{)}}{\sqrt{\it{x}^{\,\it{2}}+ \it{2}\,\it{xy}+ \it{8}\,\it{y}^{\,\it{2}}}}=$

$= \it{7}\,\it{(}\,\,\it{2}- \frac{\it{x}}{\it{y}}\,\,\it{)}+ \frac{\it{2}\,\it{(}\,\,\it{6}\,\it{xy}- \it{2}\,\it{y}^{\,\it{2}}+ \it{x}^{\,\it{2}}\,\,\it{)}}{\it{y}\,\sqrt{\it{x}^{\,\it{2}}+ \it{2}\,\it{xy}+ \it{8}\,\it{y}^{\,\it{2}}}}- \it{7}=$

$= \frac{\it{1}}{\it{y}}\,\left \{ -\,\it{7}\,\it{(}\,\,\it{x}- \it{2}\,\it{y}\,\,\it{)}+ \frac{\it{4}\,\it{(}\,\it{6}\,\it{xy}- \it{2}\,\it{y}^{\,\it{2}}+ \it{x}^{\,\it{2}}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}- \it{49}\,\it{y}^{\,\it{2}}\,\it{(}\,\,\it{x}^{\,\it{2}}+ \it{2}\,\it{xy}+ \it{8}\,\it{y}^{\,\it{2}}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}}{\sqrt{\it{x}^{\,\it{2}}+ \it{2}\,\it{xy}+ \it{8}\,\it{y}^{\,\it{2}}}\left [ \it{2}\,\it{(}\,\it{6}\,\it{xy}- \it{2}\,\it{y}^{\,\it{2}}+ \it{x}^{\,\it{2}}\,\,\it{)}+ \it{7}\,\it{y}\sqrt{\it{x}^{\,\it{2}}+ \it{2}\,\it{xy}+ \it{8}\,\it{y}^{\,\it{2}}} \right ]} \right \}=$

$= -\,\frac{\it{x}- \it{\it{2}\,\it{y}}}{\it{y}}\,\left \{ \,\,\underbrace{\it{7}- \frac{\it{4}\,\it{x}^{\,\it{3}}+ \it{56}\,\it{x}^{\,\it{2}}\it{y}+ \it{191}\,\it{xy}^{\,\it{2}}+ \it{188}\,\it{y}^{\,\it{3}}}{\sqrt{\it{x}^{\,\it{2}}+ \it{2}\,\it{xy}+ \it{8}\,\it{y}^{\,\it{2}}}\left [ \it{2}\,\it{(}\,\it{6}\,\it{xy}- \it{2}\,\it{y}^{\,\it{2}}+ \it{x}^{\,\it{2}}\,\,\it{)}+ \it{7}\,\it{y}\sqrt{\it{x}^{\,\it{2}}+ \it{2}\,\it{xy}+ \it{8}\,\it{y}^{\,\it{2}}} \right ]}}_{> \it{0}}\,\, \right \}= $

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức trong dấu ngoặc nhọn luôn đúng $\it{(}\,\,\it{!}\,\,\it{)}$ Thật vậy $\it{,}$ với $\it{t}= -\,\it{2}\,{\it{y}}'> 0$ thì $\it{:}$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \it{t}}\left ( \,\,\underbrace{\it{2}\,\it{(}\,\,\it{6}\,\it{t}- \it{2}+ \it{t}^{\,\it{2}}\,\,\it{)}+ \it{7}\,\sqrt{\it{t}^{\,\it{2}}+ \it{2}\,\it{t}+ \it{8}}\,\,\it{)}}_{> \it{0}\,\,\Leftarrow \,\,\it{(}\,\,\star\,\,\it{)}}\,\, \right )= \frac{\it{14}\,\it{(}\,\,\it{t}+ \it{1}\,\,\it{)}}{\it{2}\,\sqrt{\it{t}^{\,\it{2}}+ \it{2}\,\it{t}+ \it{8}}}+ \it{4}\,\it{(}\,\,\it{t}+ \it{3}\,\,\it{)}> \it{0}\,\,\it{(}\,\,\star\,\,\it{)}$

$\it{(}$ Hay $\it{)}$ tương đương với $\it{:}$

$\it{14}\,\it{(}\,\,\it{6}\,\it{t}- \it{2}+ \it{t}^{\,\it{2}}\,\,\it{)}\,\sqrt{\it{t}^{\,\it{2}}+ \it{2}\,\it{t}+ \it{8}}> \it{4}\,\it{t}^{\,\it{3}}+ \it{56}\,\it{t}^{\,\it{2}}+ \it{191}\,\it{t}+ \it{188}- \it{49}\,\it{(}\,\,\it{t}^{\,\it{2}}+ \it{2}\,\it{t}+ \it{8}\,\,\it{)}$

Xét $\it{0}< \it{t}\leqq \it{2}$ thì$\it{:}$

$\it{14}\,\it{(}\,\,\it{6}\,\it{t}- \it{2}+ \it{t}^{\,\it{2}}\,\,\it{)}\,\sqrt{\it{t}^{\,\it{2}}+ \it{2}\,\it{t}+ \it{8}}\geqq \it{4}\,\it{t}^{\,\it{3}}+ \it{241}\,\it{t}^{\,\it{2}}+ \it{192}\,\it{t}+ \it{188}- \it{49}\,\it{(}\,\,\it{t}^{\,\it{2}}+ \it{2}\,\it{t}+ \it{8}\,\,\it{)}> \it{4}\,\it{t}^{\,\it{3}}+ \it{56}\,\it{t}^{\,\it{2}}+ \it{191}\,\it{t}+ \it{188}- \it{49}\,\it{(}\,\,\it{t}^{\,\it{2}}+ \it{2}\,\it{t}+ \it{8}\,\,\it{)}$

Xét $\it{t}\geqq \it{2}$ thì $\it{:}$

$\it{14}\,\it{(}\,\,\it{6}\,\it{t}- \it{2}+ \it{t}^{\,\it{2}}\,\,\it{)}\,\sqrt{\it{t}^{\,\it{2}}+ \it{2}\,\it{t}+ \it{8}}\geqq \it{4}\,\it{t}^{\,\it{3}}+ \it{56}\,\it{t}^{\,\it{2}}+ \it{562}\,\it{t}+ \it{188}- \it{49}\,\it{(}\,\,\it{t}^{\,\it{2}}+ \it{2}\,\it{t}+ \it{8}\,\,\it{)}> \it{4}\,\it{t}^{\,\it{3}}+ \it{56}\,\it{t}^{\,\it{2}}+ \it{191}\,\it{t}+ \it{188}- \it{49}\,\it{(}\,\,\it{t}^{\,\it{2}}+ \it{2}\,\it{t}+ \it{8}\,\,\it{)}$

Ta được $\it{:}$ $\it{(}\,\,\it{x}- \it{2}\,\it{y}\,\,\it{)}{\it{f}}'\,\it{(}\,\,\it{x}\,\,\it{)}\leqq \it{0}\,\,\Rightarrow\,\, \it{(}\,\,\it{x}- \frac{\it{4}}{\it{3}}\,\,\it{)}{\it{f}}'\,\it{(}\,\,\it{x}\,\,\it{)}\leqq \it{0}\,\,\Rightarrow\,\, \it{f}\,\it{(}\,\,\it{x}\,\,\it{)}\leqq \it{f}\,\it{(}\,\,\frac{\it{4}}{\it{3}}\,\,\it{)}= \it{8}$

$\lceil$ Ý nghĩa hình học của đạo hàm $\it{(}$ $\it{!}$ $\it{)}$   ;) $\rfloor$

By H-a-i-D-a-n-g-e-l $\it{(}$ $\it{D-...-A-N-G}$ $\it{)}$

 
 


#93 Andy Duong

Andy Duong

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

Đã gửi 17-07-2019 - 11:26

nhiều câu khó quá, cảm ơn mọi người đã hỗ trợ ^^



#94 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1470 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 20-10-2019 - 15:04

@};- $\lceil$ https://diendantoanhoc.net/topic/186857-cho-abc-l%C3%A0-c%C3%A1c-s%E1%BB%91-th%E1%BB%B1c-d%C6%B0%C6%A1ng-th%E1%BB%8Fa-m%C3%A3n-a-b-c-3-t%C3%ACm-gtnn/#entry719907 $\rfloor$  @};-

Không mất đi tính tổng quát trong chứng minh $\it{,}$ giả sử $\it{0}< \it{a}\leqq \it{b}\leqq \it{c}$ $\it{.}$ Bất đẳng thức trên cũng được viết dưới dạng $\it{:}$

$$\it{abc}+ \frac{\it{24}}{\it{(}\,\,\it{a}+ \it{b}+ \it{c}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}- \it{(}\,\,\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{b}^{\,\it{2}}+ \it{c}^{\,\it{2}}\,\,\it{)}}\geqq \it{5}$$

với $\it{:}$

$$\it{a}+ \it{b}+ \it{c}= \it{3}\,\,,\,\,\it{abc}= \it{constant}$$

Ta được một hàm số bậc nhất theo $\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{b}^{\,\it{2}}+ \it{c}^{\,\it{2}}$ $\it{,}$ để đạt được $\min$ thì $\it{a}\leqq \it{b}= \it{c}$ $\it{.}$ $\it{[}$ sử dụng phương pháp $\lceil$ uvw $\rfloor$ $\it{]}$ $\it{.}$ Ta cần chứng minh $\it{:}$

$$\it{ab}^{\,\it{2}}+ \frac{\it{12}}{\it{b}^{\,\it{2}}+ \it{2}\,\it{ab}}\geqq \it{5}\,\,\it{(}\,\,\it{0}< \it{a}\leqq \it{1}\leqq \it{b}\,\,,\,\,\it{a}+ \it{2}\,\it{b}= \it{3}\,\,\it{)}$$

$$\Leftrightarrow \,\,\it{(}\,\,\it{3}- \it{2}\,\it{b}\,\,\it{)}\it{b}^{\,\it{2}}+ \frac{\it{12}}{\it{b}^{\,\it{2}}+ \it{2}\it{(}\,\,\it{3}- \it{2}\,\it{b}\,\,\it{)}\it{b}}\geqq \it{5}\,\,\Leftrightarrow \,\,\it{(}\,\,\it{b}- \it{1}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}\it{(}\,\,\it{2}\,\it{b}^{\,\it{3}}- \it{3}\,\it{b}^{\,\it{2}}- \it{2}\,\it{b}+ \it{4}\,\,\it{)}\geqq \it{0}$$

Với $\it{0}< \it{b}\leqq \frac{\it{3}}{\it{2}}\Rightarrow \it{2}\,\it{b}^{\,\it{3}}- \it{3}\,\it{b}^{\,\it{2}}- \it{2}\,\it{b}+ \it{4}> \it{0}$ $\it{,}$ trong  tình huống ngược lại $\it{:}$

$\it{f}\it{(}\,\,\it{b}\,\,\it{)}= \it{2}\,\it{b}^{\,\it{3}}- \it{3}\,\it{b}^{\,\it{2}}- \it{2}\,\it{b}+ \it{4}$ cho ta $\it{:}$

${\it{f}}'\it{(}\,\,\it{b}\,\,\it{)}= \it{6}\,\it{b}^{\,\it{2}}- \it{6}\,\it{b}- \it{2}$ có nghiệm $\it{:}$ $\alpha = \frac{\it{3}+ \sqrt{\,\it{21}\,}}{\it{6}}< \frac{\it{3}}{\it{2}}$ $\it{,}$ lập được bảng biến thiên phía dưới $\it{:}$

$$\begin{array}{|r|l|l|l|l|l|} \hline \it{b}\,\,\,\,\,\,\, & \it{1} & \it{...} & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\alpha & \it{...} & \frac{\it{3}}{\it{2}} \\ \hline {\it{f}}'\it{(}\,\,\it{b}\,\,\it{)} & \, & \it{-} & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\it{0} & \it{+} & \it{0} \\ \hline \it{f}\it{(}\,\,\it{b}\,\,\it{)}\, & \, & \it{\searrow} & \text{very small} & \it{\nearrow} & \\ \hline \end{array}$$

$\Rightarrow \it{f}\it{(}\,\,\it{b}\,\,\it{)}\geqq \it{f}\it{(}\,\,\alpha\,\,\it{)}= {\it{f}}'\it{(}\,\,\alpha\,\,\it{)}\,\it{.}\,\frac{\it{2}\,.\,\alpha - \it{1}}{\it{6}}- \frac{\it{7}\,.\,\alpha - \it{11}}{\it{3}}= \frac{\it{11}- \it{7}\,.\,\it{\alpha }}{\it{3}}> \it{0}\,\,\it{(}\,\,\alpha < \frac{\it{3}}{\it{2}}< \frac{\it{11}}{\it{7}}\,\,\it{)}$ $\it{.}$

Nhận xét $\it{:}$ Bất đẳng thức tổng quát với cùng điều kiện giả thiết $\it{:}$

$$\it{abc}+ \frac{\it{k}^{\,\it{2}}- \it{2}\,\it{k}+ \it{4}}{\it{ab}+ \it{bc}+ \it{ca}}\geqq \it{k}+ \it{1}\,\,\it{(}\,\,\it{k}\geqq \it{0}\,\,\it{)}$$

Đúng với $\it{:}$

$\left ( \,\,\it{k}\in \it{[}\,\,\it{1}\,\,,\,\,\it{4}\,\,\it{]}\,\, \right )\,\,\wedge \,\,\left ( \,\,\it{k}\in \it{[}\,\,\it{0}\,.\,\it{208381}\,\,,\,\,\it{0}\,.\,\it{839196}\,\,\it{]}\,\, \right )$ và $\it{:}$

$\it{0}\,.\,\it{208381}$ và $\it{0}\,.\,\it{839196}$ là $\it{2}$ nghiệm của phương trình $\it{:}$

$\it{3125}\,\it{k}^{\,\it{6}}- \it{27}\,\it{471}\,\it{k}^{\,\it{5}}+ \it{80994}\,\it{k}^{\,\it{4}}- \it{139}\,\it{549}\,\it{k}^{\,\it{3}}+ \it{268}\,\it{545}\,\it{k}^{\,\it{2}}- \it{199}\,\it{641}\,\it{k}+ \it{31}\,\it{061}= \it{0}$ $\it{.}$

Spoiler

 



#95 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1470 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 20-10-2019 - 15:18

@HaiDangel

CHO $2$ SỐ THỰC $x, y$ SAO CHO $x^{2}- 4xy+ 4y^{2}+ 4x^{2}y^{2}= 4$. VẬY KHI $z= x+ y= \max z$ THÌ $x/ y$ CÓ GIÁ TRỊ BAO NHIÊU?






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh