Bài làm của MSS01 - BlackSelena:
Trước hết, ta có các bdt phụ sau:
* $a^2 + b^2 + c^2 \geq ab+bc + ca$
$\Leftrightarrow (a-b)^2 + (b-c)^2 + (a-c)^2 \geq 0$, luôn đúng.
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$
* Với $a+b+c=3$ thì $\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \geq ab + bc +ca$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2 + 2(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}) \geq a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca)$
$\Leftrightarrow a^2 +b^2 + c^2 + 2(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}) \geq 9$
Mặt khác theo $AM-GM$ thì:
$a^2 + \sqrt{a} + \sqrt{a} \geq 3a$
Thiết lập các bđt tương tự và kết hợp với giả thiết $a+b+c = 3$, cộng chúng lại thì ta có đpcm.
* Với $a+b+c = 3$ thì $a^3 +b^3+c^3 \geq a+b+c$
Theo $AM-GM$ , $a^3 + 1 + 1 \geq 3a$
Thiết lập các bđt tương tự, cộng chúng lại ta có
$a^3+b^3+c^3 + 2(a+b+c) \geq 3(a+b+c)$
$\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3 \geq a+b+c$
* Với $a+b+c =3$ thì $\frac{4}{3}(a^3 + b^3 + c^3) + 2 \geq 2(a^2+b^2+c^2)$
Theo $AM-GM$, $a^3+ b^3 + 1 \geq 3a^2$
Thiết lập các bđt tương tự, công lại ta có
$2(a^3+b^3+c^3) + 3 \geq 3(a^2+b^2+c^2)$
$\Leftrightarrow \frac{4}{3}(a^3+b^3+c^3) + 2 \geq 2(a^2+b^2+c^2)$
Vậy ta có:
$\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \geq ab+bc+ca$
$\Leftrightarrow (a+b+c + 2\sqrt{ab} + 2\sqrt{bc} + 2\sqrt{ca}) \geq (ab+bc+ca)^2$
Mà ta có $2(\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}) \leq 2(a+b+c)$
$\Rightarrow 3(a+b+c) \geq (ab+bc+ca)^2$
$\Leftrightarrow 3(a+b+c) + 2(ab+bc+ca) + 1 \geq (ab+bc+ca)^2 + 2(ab+bc+ca) +1$
$\Leftrightarrow 3(a+b+c) + 2(ab+bc+ca) + 1 \geq (ab+bc+ca+1)^2$
Lại có $2(ab+bc+ca) \leq 2(a^2+b^2+c^2)$
$\Rightarrow 3(a+b+c) + 2(a^2+b^2+c^2) +1 \geq (ab+bc+ca+1)^2$
Mà theo các bđt phụ đã chứng minh ở trên thì ta có:
$3(a^3+b^3+c^3) + \frac{4}{3}(a^3+b^3+c^3) + 3 \geq (ab+bc+ca+1)^2$
Mà $3 = a+b+c \leq a^3+b^3+c^3$
$\Rightarrow \frac{16}{3}(a^3+b^3+c^3) \geq (ab+bc+ca+1)^2$
Xét VT, theo $\text{ Cauchy-Schwarz}$, ta có:
$\frac{16}{3}(a^3+b^3+c^3) \leq \frac{16}{3}\sqrt{3(a^6+b^6+c^6)} = \frac{16}{\sqrt{3}}\sqrt{a^6+b^6+c^6}$ (1)
Xét $VP$, ta có:
$(ab+bc+ca+1)^2 = (ab+bc)^2 + (ca+1)^2 + 2(ab+bc)(ca+1)$
Theo $AM-GM$.
$(ab+bc)^2 + (ca+1)^2 \geq 4ab^2c + 4ac + 2(ab+bc)\sqrt{ac}$
$4\begin{bmatrix} ca(b^2+1)+(ab+bc)\sqrt{ac} \end{bmatrix}$ (2)
Từ $(1)$ và $(2)$, ta có:
$\frac{16}{\sqrt{3}}\sqrt{a^6+b^6+c^6} \geq 4\begin{bmatrix} ca(b^2+1)+(ab+bc)\sqrt{ac} \end{bmatrix}$
$\Leftrightarrow 4\sqrt{a^6+b^6+c^6} \geq \sqrt{3}\begin{bmatrix} ca(b^2+1)+(ab+bc)\sqrt{ac} \end{bmatrix}$
Vậy ta có đpcm, đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
________________________
Điểm bài làm: $d=10$$S = 24+3*10 = 54$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 11-01-2013 - 21:46
Chấm điểm!