mở rộng:
tổng quát:trong mặt phẳng $(P)$cho đường thẳng: $ax+by+cz=d$
và $n$ điểm $A_i$$(x_i;y_i;z_i)$ và$k_1;k_2;...;k_n$.Đặt $k=k_1+k_2+...+k_n$$\left ( 1\leqslant i\leqslant n \right )$
Tìm $M$ trên $(P)$ sao cho:
$\left | k_1\overrightarrow{MA_1}+k_2\overrightarrow{MA_2}+...+k_n\overrightarrow{MA_n} \right |$ bé nhất
giải:gọi $I$ là điếm sao cho $k_1\overrightarrow{IA_1}+k_2\overrightarrow{IA_2}+...+k_n\overrightarrow{IA_n} =\overrightarrow{0}$
Ta có:
$k_1\overrightarrow{IA_1}+k_2\overrightarrow{IA_2}+...+k_n\overrightarrow{IA_n} =\overrightarrow{0}$
$ \Leftrightarrow k_1(\overrightarrow{GA_1}-\overrightarrow{GI})+k_2(\overrightarrow{GA_2}-\overrightarrow{GI})+...+k_n(\overrightarrow{GA_n}-\overrightarrow{GI})=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow (k_1+k_2+...+k_n)\overrightarrow{GI}=k_1\overrightarrow{GA_1}+k_2\overrightarrow{GA_2}+...+k_n\overrightarrow{GA_n} $
$\Leftrightarrow k\overrightarrow{GI}=k_1\overrightarrow{GA_1}+k_2\overrightarrow{GA_2}+...+K_n\overrightarrow{GA_n}$
$\left\{\begin{matrix}
k(x_I-x_G)=k_1(x_{A_1}-x_G)+...+k_n(x_{A_n}-x_G) & \\
k(y_I-y_G)=k_1(y_{A_1}-y_G)+...+k_n(y_{A_n}-y_G) & \\
k(z_I-z_G)=k_1(z_{A_1}-z_G)+...+k_n(z_{A_n}-z_G) &
\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
kx_I=k_1x_{a_1}+k_2x_{A_2}+...+k_nx_{A_n} & \\
ky_I=k_1y_{a_1}+k_2y_{A_2}+...+k_ny_{A_n} & \\
kz_I=k_1z_{a_1}+k_2z_{A_2}+...+k_nz_{A_n} &
\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} x_I=\frac{1}{k}\sum_{i=1}^{n}k_ix_{A_i} & \\ y_I=\frac{1}{k}\sum_{i=1}^{n}k_iy_{A_i} & \\ z_I=\frac{1}{k}\sum_{i=1}^{n}k_iz_{A_i} & \end{matrix}\right.$
ta có: $k_1\overrightarrow{MA_1}+k_2\overrightarrow{MA_2}+...+k_n\overrightarrow{MA_n} $
$= k_1(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA_1})+...+k_n(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA_n}) $
$= k\overrightarrow{MI}$
Do đó: $\left | k_1\overrightarrow{MA_1}+k_2\overrightarrow{MA_2}+...+k_n\overrightarrow{MA_n} \right | $đạt giá trị nhỏ nhất
$\Leftrightarrow \left | k\overrightarrow{MI} \right |$ nhỏ nhất
$\Leftrightarrow MI$ đạt giá trị nhỏ nhất
do đó: $\left\{\begin{matrix} M\epsilon (P) & & \\ MI\perp (P) & & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} ax_M+by_M+cz_M=d & & \\ \overrightarrow{IM}=l\overrightarrow{u}(\overrightarrow{u}=(a;b;c)) & & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} ax_M+by_M+cz_M=d & \\ x_M-x_I=la & \\ y_M-y_I=lb & \\ z_M-z_I=lc & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} ax_M+by_M+cz_M=d & \\ ax_M-ax_I=la^{2} & \\ by_M-by_I=lb^{2} & \\ cz_M-cz_I=lc^{2} & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} d-ax_I-by_I-cz_I=l(a^{2}+b^{2}+c^{2})& \\ ax_M-ax_I=la^{2} & \\ by_M-by_I=lb^{2} & \\ cz_M-cz_I=lc^{2} & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} l=\frac{d-ax_I-by_I-cz_I}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}& \\ x_M-x_I=la & \\ y_M-y_I=lb & \\ z_M-z_I=lc & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} l=\frac{d-a\frac{1}{k}\sum_{i=1}^{n}k_ix_{A_i}-b\frac{1}{k}\sum_{i=1}^{n}k_iy_{A_i}-c\frac{1}{k}\sum_{i=1}^{n}k_iz_{A_i}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}& \\ x_M=x_I+la & \\ y_M=y_I+lb & \\ z_M=z_I+lc & \end{matrix}\right.$
vậy toạ độ điểm M là:
$(a\frac{d-a\frac{1}{k}\sum_{i=1}^{n}k_ix_{A_i}-b\frac{1}{k}\sum_{i=1}^{n}k_iy_{A_i}-c\frac{1}{k}\sum_{i=1}^{n}k_iz_{A_i}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+ \frac{1}{k}\sum_{i=1}^{n}k_ix_{A_i} ;b\frac{d-a\frac{1}{k}\sum_{i=1}^{n}k_ix_{A_i}-b\frac{1}{k}\sum_{i=1}^{n}k_iy_{A_i}-c\frac{1}{k}\sum_{i=1}^{n}k_iz_{A_i}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+ \frac{1}{k}\sum_{i=1}^{n}k_iy_{A_i} ;c\frac{d-a\frac{1}{k}\sum_{i=1}^{n}k_ix_{A_i}-b\frac{1}{k}\sum_{i=1}^{n}k_iy_{A_i}-c\frac{1}{k}\sum_{i=1}^{n}k_iz_{A_i}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} +\frac{1}{k}\sum_{i=1}^{n}k_iz_{A_i} )$
Bài tổng quát này không mang nhiều ý nghĩa,mà chỉ đơn thuần là trộn thêm hệ số $k_{i}(i=\overline{1;n})$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 12-01-2013 - 21:18