Chủ đề này có 1 trả lời

[em yeu chi anh]

Chứng minh rằng nếu hàm liên tục f : $\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ thỏa mãn hệ thức:

f(f(f(x))) $\equiv$ x , $\forall$ x $\in$ $\mathbb{R}$

thỳ f(x) $\equiv $ x, $\forall$ x $\in $ $\mathbb{R}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi em yeu chi anh: 04-01-2013 - 18:27

[viet 1846]

Chứng minh rằng nếu hàm liên tục f : $\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ thỏa mãn hệ thức:

f(f(f(x))) $\equiv$ x , $\forall$ x $\in$ $\mathbb{R}$

thỳ f(x) $\equiv $ x, $\forall$ x $\in $ $\mathbb{R}$

Nếu $f(x)=f(y)$ suy ra $x=y$ Vậy $f$ đơn ánh.

$f$ liên tục Suy ra đơn điệu ngặt.

Nếu $f$ giảm thì $f^2$ tăng ngặt nên $f^3$ giảm ngặt trên $R$

Mâu thuẫn với giả thiết $f(f(f(x)))=x$

Nếu $f$ tăng ngặt trên $R$.

nếu tồn tại $x_0$ sao cho $f(x_0)>x_0$

Khi đó $f(f(f(x_0)))>f(f(x_0))>f(x_0)$ vô lý.

Tương tự với $f(x_0)<x_0$