Cho $a,b,c$ dương và $abc=1$. Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+3\geq 2(a+b+c)$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 13-05-2021 - 16:21
Cho $a,b,c$ dương và $abc=1$. Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+3\geq 2(a+b+c)$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 13-05-2021 - 16:21
Facebook: https://www.facebook.com/ntn3004
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoang Anh Arsenal: 05-01-2013 - 13:50
Bạn chứng minh bất đẳng thức bạn gọi là cơ bản dùm mình được không?Đặt $(x,y,z)\rightarrow (\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})$
$\Rightarrow xyz=1$
BĐt đã cho được viết lại thành $x^2+y^2+z^2+3\geq 2(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})$ với $xyz=1$
$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xyz+1\geq 2(xy+yz+xz)$
Nhưng trên là 1 bđt vô cùng cơ bản
$\Rightarrow$ đpcm
Dấu = xảy ra khi $x=y=z=1\Leftrightarrow a=b=c=1$ ?
Facebook: https://www.facebook.com/ntn3004
Được rồi bạn, đoạn này mình giúp cho:Bạn chứng minh bất đẳng thức bạn gọi là cơ bản dùm mình được không?
TRIETHUYNHMATH
___________________________
08/12/1997
Cho $a,b,c$ dương và $abc=1$. Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+3\geq 2(a+b+c)$$
Lời giải. Vì $abc=1$ nên ta cần chứng minh:
$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{3}{abc}\geq 2(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})$
Đặt $(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c})\rightarrow (x,y,z)$ thì $x,y,z>0;xyz=1$ và ta cần chứng minh:
$x^2+y^2+z^2+3xyz\geqslant 2(xy+yz+zx)$
Theo nguyên lí Dirichlet thì trong 3 số $x-1;y-1;z-1$ tồn tại ít nhất 2 số cùng dấu, giả sử là $x-1$ và $y-1$ thì $(x-1)(y-1)\geqslant 0\Leftrightarrow 3xyz\geqslant 3zx+3yz-3z$
Ta cần chứng minh:
$x^2+y^2+z^2+3zx+3yz-3z\geqslant 2(xy+yz+zx)$
$\Leftrightarrow (x-y)^2+z(x+y+z-3)\geqslant 0$
Bất đẳng thức cuối luôn đúng nên ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh