Chủ đề này có 5 trả lời

[minhtuyb]

Bài toán: Cho dãy số xác định bởi công thức:
$$\left\{\begin{matrix}x_0=0;x_1=45\\ x_{n+1}=3x_n+x_{n-1}\ \ \ \forall n\ge 1\end{matrix}\right.$$
Tìm số dư của $x_{2008}$ cho $2012$

@anh qua: Vâng ạ, hóa ra nó giống với cái đề QG (_ _!)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhtuyb: 05-01-2013 - 18:04

[Ispectorgadget]

Bài toán: Cho dãy số xác định bởi công thức:
$$\left\{\begin{matrix}x_0=0;x_1=45\\ x_{n+1}=3x_n+x_{n-1}\ \ \ \forall n\ge 1\end{matrix}\right.$$
Tìm số dư của $x_{2008}$ cho $2012$

(Dư 61 đúng không nhỉ?)

$$x_n=\left(\frac{1}{2}+\frac{21}{\sqrt{13}} \right )(3+\sqrt{13})^n+\left(\frac{1}{2}-\frac{21}{\sqrt{13}} \right )(3-\sqrt{13})^n$$
.....

Spoiler

Ngồi cả buổi trưa không ra rồi...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 05-01-2013 - 13:45

[anh qua]

Bài toán: Cho dãy số xác định bởi công thức:
$$\left\{\begin{matrix}x_0=0;x_1=45\\ x_{n+1}=3x_n+x_{n-1}\ \ \ \forall n\ge 1\end{matrix}\right.$$
Tìm số dư của $x_{2008}$ cho $2012$

Vấn đề bây giờ là tìm số dư của $x_{2008}$ cho 503.
Xét dãy $a_{n}$ thỏa mãn $a_{0}=0; a_{1}=45; a_{n+1}=3a_{n}+504.a_{n-1}$
Suy ra $a_{n} \equiv x_{n} (mod 503)$
Mà $a_{n}= 24^n-(-21)^n$
Suy ra $a_{2008}=24^{2008}-21^{2008} \equiv 0 (mod 503)$ (chú ý 2008=4.502)
Do đó $x_{n} \equiv 0 (mod 503)$. (1)
Mặt khác dãy $x_{n} (mod 4)$ tuần hoàn chu kì 6 (cái này em tính 10 giá trị mod 4đầu tiên sẽ thấy ngay).
Suy ra $x_{2008} \equiv 2 (mod 4)$ (2)
Từ (1) và (2) ta có $x_{2008} \equiv 1006 (mod 2012)$.


@ Tú: Bài thầy Sâm à! (_ _^)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anh qua: 05-01-2013 - 15:40

[minhtuyb]

Mặt khác dãy $x_{n} (mod 4)$ tuần hoàn chu kì 6 (cái này em tính 10 giá trị mod 4đầu tiên sẽ thấy ngay).
Suy ra $x_{2008} \equiv 2 (mod 4)$ (2)
Từ (1) và (2) ta có $x_{2008} \equiv 1006 (mod 2012)$.


@ Tú: Bài thầy Sâm à! (_ _^)

Hix bài này em nghĩ theo hướng hệ thặng dư nên đâm đầu vào làm mà ko được
---
Mod 4 em ra là $(0;1;3;2;1;1)$ nên suy ra $x_{2008}\equiv 1(mod\ 4)$ chứ ạ?
Nếu đúng thì kết quả là $1509$

[Ispectorgadget]

Bài này giống với bài thi HSG QG 2011
Cho dãy số nguyên $(a_n)$ xác định bởi $a_0=1,a_1=-1$
$a_n=6a_{n-1}+5a_{n-2}$ với mọi $n\ge 2$
Chứng minh rằng $a_{2012}-2010 $ chia hết cho 2011
Cách giải là tìm CTTQ sau đó dùng định lý Fermat

[anh qua]

Bài này giống với bài thi HSG QG 2011
Cho dãy số nguyên $(a_n)$ xác định bởi $a_0=1,a_1=-1$
$a_n=6a_{n-1}+5a_{n-2}$ với mọi $n\ge 2$
Chứng minh rằng $a_{2012}-2010 $ chia hết cho 2011
Cách giải là tìm CTTQ sau đó dùng định lý Fermat

Kiên thử giải theo cách này đối với bài của Tú xem có đk không??
___
=(( Hôm qua làm cách này tốn cả buổi trưa mà không thu được gì hết.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 06-01-2013 - 17:15