Chủ đề này có 3 trả lời

[Forgive Yourself]

Cho $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn $(O;R)$, các đường thẳng $AO, BO, CO$ cắt $BC, AC, AB$ lần lượt tại $A', B', C'$. Tìm $GTNN$ của $OA'+OB'+OC'$ theo $R$

[Beautifulsunrise]

Cho $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn $(O;R)$, các đường thẳng $AO, BO, CO$ cắt $BC, AC, AB$ lần lượt tại $A', B', C'$. Tìm $GTNN$ của $OA'+OB'+OC'$ theo $R$

Gợi ý:
Đặt BC = a, CA = b, AB = c và gọi x, y, z lần lượt là khoảng cách từ O tới các cạnh BC, CA, AB và G là trọng tâm tam giác ABC. Ta có:
$OA' + OB' + OC' \ge x + y + z = \sqrt {3{R^2} - (\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{4})} $
Mà: $O{A^2} = {(\overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GA} )^2} = O{G^2} + \frac{4}{9}(\frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4}) + 2\overrightarrow {OG} .\overrightarrow {GA} $
$O{B^2} = {(\overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GB} )^2} = O{G^2} + \frac{4}{9}(\frac{{{c^2} + {a^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4}) + 2\overrightarrow {OG} .\overrightarrow {GB} $
$O{C^2} = {(\overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GC} )^2} = O{G^2} + \frac{4}{9}(\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \frac{{{c^2}}}{4}) + 2\overrightarrow {OG} .\overrightarrow {GC} $
=> $3{R^2} = 3O{G^2} + \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{3} \ge \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{3}$
Do vậy: $OA' + OB' + OC' \ge \frac{{R\sqrt 3 }}{2}$

[Forgive Yourself]

..............................................................
=> $3{R^2} = 3O{G^2} + \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{3} \ge \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{3}$
Do vậy: $OA' + OB' + OC' \ge \frac{{R\sqrt 3 }}{2}$

Anh ơi, anh có thể không dùng vecto được không? Em cần cách của THCS.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Beautifulsunrise: 06-01-2013 - 19:54

[Beautifulsunrise]

Anh ơi, anh có thể không dùng vecto được không? Em cần cách của THCS.

Bạn có thể áp dụng trực tiếp công thức trong lời giải bài 135 ở đây:
http://diendantoanho...s/page__st__340
Nhưng ... khi đó ta lại có: OA' + OB' + OC' $\ge \frac{3R}{2}$. Lạ nhỉ. ^^