Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \frac{a}{b} \geq \sum \frac{a + b}{b + c} + 1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
euler98

euler98

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 11 Bài viết
Cho $a$ $,$ $b$ $,$ $c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng :
$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq \frac{a + b}{b + c} + \frac{b + c}{a + b} + 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 06-01-2013 - 08:24


#2
tramyvodoi

tramyvodoi

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1044 Bài viết

cho a,b,c là các số thực dương .Chứng minh rằng
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geqslant \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1$

Ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
$\frac{a}{b}-\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c}-\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a}-\frac{c}{a+b}\geq \frac{b}{a+b}+1$
$\Leftrightarrow \frac{ca}{b(b+c)}+\frac{b^{2}}{c(b+c)}+\frac{bc}{a(a+b)}\geq \frac{a+2b}{a+b}$
Theo C-S:
$\frac{ca}{b(b+c)}+\frac{b^{2}}{c(b+c)}=\frac{a}{c(b+c)}(\frac{c^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a})\geq \frac{a}{c(b+c)}\frac{(c+b)^{2}}{b+a}\geq \frac{a(b+c)}{c(a+b)}$
Ta cần chứng minh:
$\frac{a(b+c)}{c}+\frac{bc}{a}\geq a+2b$
$\Leftrightarrow \frac{b(c-a)^{2}}{ca}\geq 0$ (luôn đúng)

#3
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Cho a,b,c$> 0$ CM $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh