Đến nội dung

Hình ảnh

$\text{a}^{\text{m} - 1} \equiv 1 ( \text{mod m} )$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
sptb

sptb

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 15 Bài viết
Cho $\text{a} \in \mathbb{Z}$ $,$ $\text{a} \neq 0$. Chứng minh rằng : có vô số hợp số $\text{m}$ sao cho $\text{a}^{\text{m} - 1} \equiv 1 ( \text{mod m} )$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 06-01-2013 - 09:32


#2
nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết

Bài này thì ra được phát biểu từ một bài toán quen thuộc, tổng quát hóa lên thì ra bài này
Giải như sau:
Chọn $m=\dfrac{a^{2p}-1}{a^2-1}$ với $p$ nguyên tố và $gcd(a,p)=1$ với $p$ nguyên tố lẻ và $gcd(a^2-1,p)=1$
Khi ấy $m=\dfrac{a^p-1}{a-1}.\dfrac{a^p+1}{a+1}=(a^{p-1}+...+a+1).(a^{p-1}-a^{p-2}+...-a+1)$
Dễ dàng thấy $m$ đã là hợp số
Giờ ta cm $a^{m-1}-1 \vdots m$ hay $a^{m-1}-1 \vdots \dfrac{a^{2p}-1}{a^2-1}$ hay ta cm mạnh hơn $a^{m-1}-1 \vdots a^{2p}-1$
Dễ thấy $m-1=\dfrac{a^{2p}-1}{a^2-1}-1=\dfrac{a^{2p}-a^2}{a^2-1}=a^2\left(\dfrac{a^{2(p-1)}-1}{a^2-1}\right)$
TH1: $a$ chẵn suy ra $a^2\left(\dfrac{a^{2(p-1)}-1}{a^2-1}\right) \vdots 2$ do đó $m-1 \vdots 2$
Mặt khác theo Fermat nhỏ $a^{2(p-1)}-1 \vdots p$ và $gcd(a^2-1,p)=1$ nên $m-1 \vdots p$ mà $p$ lẻ do đó $gcd(p,2)=1$ nên $m-1 \vdots 2p$
Suy ra $a^{m-1}-1 \vdots a^{2p}-1 \Rightarrow a^{m-1}-1 \vdots m$ với $m$ là hợp số
TH2: $a$ lẻ khi ấy $\dfrac{a^{2(p-1)}-1}{a^2-1}=(a^{p-2}+a^{p-3}+...+a+1)(a^{p-2}-a^{p-3}+...+a-1)$
Rõ ràng $a$ lẻ nên $(a^{p-2}+a^{p-3}+...+a+1)$ chẵn, suy ra $m-1$ chẵn, cm tương tự trên $m-1 \vdots 2p$ nên $a^{m-1}-1 \vdots m$
Như vậy $m$ là hợp số thỏa đề,giờ ta chỉ cần cm có vô số số $m$ là xong, thật vậy ta thấy do $a$ nguyên và $a \neq 0$ nên tập ước nguyên tố của $a$ và $a^2-1$ là hữu hạn, gọi tập này là $A$ khi đó có vô số số nguyên tố $p$ mà $p \not \in A$ khi ấy $p$ thỏa đề, do vậy có vô số số $m$ hợp số thỏa đề, đây là $đpcm$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh