Chủ đề này có 2 trả lời

[nghihandsome]

cho tam giác ABC nhọn, từ I ở miền trong tam giác kẻ IH,IK,IL lần lượt vuông góc với BC,CA,AB
tìm vị trí của I để$ AL^2+BH^2+CK^2 $nhỏ nhất

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dung Dang Do: 06-01-2013 - 17:38

[Oral1020]

Ở http://diendantoanho...ố-bai-hinh-kho/ bạn nhé !
---
Chú ý tiêu đề http://diendantoanho...i-khong-bị-xoa/

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 06-01-2013 - 17:37

[Forgive Yourself]

cho tam giác ABC nhọn, từ I ở miền trong tam giác kẻ IH,IK,IL lần lượt vuông góc với BC,CA,AB
tìm vị trí của I để AL^2+BH^2+CK^2 nhỏ nhất

Xin lỗi bạn vì mình cũng đang bận nên chưa vẽ được hình up lên cho bạn, bạn thông cảm nha.
Bài giải:

Áp dụng định lí $Pythagore$ ta có:
$AL^2+LI^2=AK^2+KI^2 (=AI^2)$
$BH^2+HI^2=BL^2+LI^2 (=BI^2)$
$CK^2+KI^2=CH^2+HI^2 (=CI^2)$
Cộng vế theo vế của các đẳng thức trên ta được:
$(AL^2+BH^2+CK^2)+(LI^2+HI^2+KI^2)=(AK^2+BL^2+CH^2)+(LI^2+HI^2+KI^2)$
$\Rightarrow AL^2+BH^2+CK^2=AK^2+BL^2+CH^2$
$\Rightarrow 2(AL^2+BH^2+CK^2)=(AL^2+BL^2)+(BH^2+CH^2)+(CK^2+AK^2)$
Mặt khác:
$AL^2+BL^2\geq \frac{(AL+BL)^2}{2}=\frac{AB^2}{2}$
$BH^2+CH^2\geq \frac{(BH+CH)^2}{2}=\frac{BC^2}{2}$
$CK^2+AK^2\geq \frac{(CK+AK)^2}{2}=\frac{CA^2}{2}$
$\Rightarrow (AL^2+BL^2)+(BH^2+CH^2)+(CK^2+AK^2)\geq \frac{AB^2+BC^2+CA^2}{2}$
$\Rightarrow 2(AL^2+BH^2+CK^2)\geq \frac{AB^2+BC^2+CA^2}{2}$
$\Rightarrow (AL^2+BH^2+CK^2)\geq \frac{AB^2+BC^2+CA^2}{4}$
Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} AL=BL\\ BH=CH\\ CK=AK \end{matrix}\right.$ hay $I$ là giao của ba đường trung trực, tức $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$
Vậy $Min_{(AL^2+BH^2+CK^2)}=\frac{AB^2+BC^2+CA^2}{4}$ khi và chỉ khi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 06-01-2013 - 18:55