Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum_{k=0}^n (-1)^k{n\choose k}{2n\choose 2k}=\sum_{k=0}^n (-1)^k{n\choose k}{3n\choose n+k}$

- - - - - dark templar forall

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết
Tặng riêng dark templar cùng tất cả các bạn một bài đơn giản sau:

Chứng minh đẳng thức:
$$\sum_{k=0}^n (-1)^k{n\choose k}{2n\choose 2k}=\sum_{k=0}^n (-1)^k{n\choose k}{3n\choose n+k}=S_n$$
______

Câu hỏi phụ:

Chứng minh rằng: $\left\{\begin{align*}&S_{2m+1}=0\\& \quad \\&S_{2m}=\dfrac{(-1)^m(6m)!(2m)!}{m!(3m)!(4m)!}\end{align*}\right.\quad\Bigg| \quad m\in\mathbb N$

#2
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

Tặng riêng dark templar cùng tất cả các bạn một bài đơn giản sau:

Chứng minh đẳng thức:
$$\sum_{k=0}^n (-1)^k{n\choose k}{2n\choose 2k}=\sum_{k=0}^n (-1)^k{n\choose k}{3n\choose n+k}=S_n$$

Tạm thời giải quyết cái đẳng thức này trước đã,còn câu hỏi phụ sẽ tính sau :)
Giờ ta xét 1 đẳng thức hiển nhiên sau :
$$(x^2-1)^{n}(x+1)^{2n}=(x-1)^{n}(x+1)^{3n}$$
Khai triển hoàn toàn bình thường bằng Nhị Thức Newton cả 2 vế,ta sẽ có :
$\left(\sum_{j=0}^{n}(-1)^{n-j}\binom{n}{j}x^{2j} \right)\left(\sum_{j=0}^{2n}\binom{2n}{j}x^{j} \right)=\left(\sum_{j=0}^{n}(-1)^{n-j}\binom{n}{j}x^{j} \right)\left(\sum_{j=0}^{3n}\binom{3n}{j}x^{j} \right)$
Hay :
$\left(\sum_{j=0}^{n}(-1)^{j}\binom{n}{j}x^{2j} \right)\left(\sum_{j=0}^{2n}\binom{2n}{j}x^{j} \right)=\left(\sum_{j=0}^{n}(-1)^{j}\binom{n}{j}x^{j} \right)\left(\sum_{j=0}^{3n}\binom{3n}{j}x^{j} \right)$

Ta đặt $a_{k};b_{k};c_{k};d_{k}$ lần lượt là hệ số của $x^{k}$ trong các khai triển $(x^2-1)^{n};(x+1)^{2n};(x-1)^{n};(x+1)^{3n}$.
Sẽ thấy ngay rằng :
  • $a_{k}$ với $k=\overline{0;2n}$.
  • $b_{k}$ với $k=\overline{0;2n}$.
  • $c_{k}$ với $k=\overline{0;n}$.
  • $d_{k}$ với $k=\overline{0;3n}$.
Và ta có 1 nhận xét nhỏ sau :
  • $a_{2m}=(-1)^{j}\binom{n}{j}$ với $m=\overline{0;n}$.
  • $a_{2m+1}=0$ với $m=\overline{0;n}$.
Bằng các nhận xét trên, nếu ta tiếp tục khai triển và đồng nhất thức hệ số của $x^{2n}$ thì ta sẽ có :
$$\sum_{k=0}^{2n}a_{k}b_{2n-k}=\sum_{k=0}^{2n}c_{k}d_{2n-k} \quad (*)$$
Hay :
$$\sum_{k=0}^{n}a_{2k}b_{2n-2k}=\sum_{k=0}^{n}c_{k}d_{2n-k}$$
Hay :
$$\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\binom{n}{k}\binom{2n}{2n-2k}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\binom{n}{k}\binom{3n}{2n-k}$$
Hay theo quy tắc đối xứng thì :
$$\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\binom{n}{k}\binom{2n}{2k}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\binom{n}{k}\binom{3n}{n+k}$$

Đã chứng minh xong :)
Spoiler


P.s: Nếu bạn nào thắc mắc về công thức (*) thì nó xuất phát từ công thức nhân 2 đa thức như sau :
$$\left(\sum_{j=0}^{m}a_{j}x^{j} \right)\left(\sum_{i=0}^{n}b_{i}x^{i} \right)=\sum_{r=0}^{m+n}\left(\sum_{k=0}^{r}a_{k}b_{r-k} \right)x^{r}$$
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#3
nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết

Câu hỏi phụ:

Chứng minh rằng: $\left\{\begin{align*}&S_{2m+1}=0\\& \quad \\&S_{2m}=\dfrac{(-1)^m(6m)!(2m)!}{m!(3m)!(4m)!}\end{align*}\right.\quad\Bigg| \quad m\in\mathbb N$

 

_________________________
Tổng quát:
$$\sum^n_{k=0} (-1)^k \binom{n}{k} \binom{2n}{2k}=\dfrac{2^n\cos\left ( \dfrac{n\pi}{2} \right ) (n-1)! (3n-1)!!}{n (2n-1)!! (n-1)!! (n-2)!!(n-2)!!}$$

_________________________

Thầy Thanh post lời giải đi ...


BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#4
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết

_________________________
Tổng quát:
$$\sum^n_{k=0} (-1)^k \binom{n}{k} \binom{2n}{2k}=\dfrac{2^n\cos\left ( \dfrac{n\pi}{2} \right ) (n-1)! (3n-1)!!}{n (2n-1)!! (n-1)!! (n-2)!!(n-2)!!}$$

_________________________

Thầy Thanh post lời giải đi ...

Bài này là Ví dụ 2.2 trong chuyên đề ĐTTH mà em! :)







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: dark templar, forall

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh