CM $abc+2(1+a+b+c+ab+bc+ca)\geq 0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tieuthumeo99: 10-01-2013 - 16:38
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tieuthumeo99: 10-01-2013 - 16:38
Stay hungry stay foolish
"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.
If I feel happy,I do mathematics to keep happy."
Alfréd Rényi
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tieuthumeo99: 10-01-2013 - 17:03
Stay hungry stay foolish
Như vậy biểu thức 2(1 + a + b + c + ab + bc + ca ) có thể thay bằng m(1 + a + b + c + ab + bc + ca ) cũng được
Do $a^2+b^2+c^2=1$ nên $a^2\leq 1$ ,$b^2\leq 1$ ,$c^2\leq 1$
=>$a\geq -1,b\geq -1,c\geq -1$
=>$(1+a)(1+b)(1+c)\geq 0$
=>$1+a+b+c+ab+bc+ca+abc\geq 0$
Cần chứng minh $1+a+b+c+bc+ac+ab\geq 0$
Ta có $1+a+b+c+ab+bc+ca\geq 0$
<=>$a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+a+b+c\geq 0$
<=>$2a^2+2b^2+2c^2+2(a+b+c)+2ab+2bc+2ca+abc\geq 0$ (1)
<=>$(a+b+c)^2+2(a+b+c)+1\geq 0$
<=>$(a+b+c+1)^2\geq 0$ (luôn đúng)
=>ĐPCM
(1) bn ghi thừa abc thì phải
Cho a,b,c thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$
CM $abc+2(1+a+b+c+ab+bc+ca)\geq 0$
* TH1: abc$\geq$0
Ta có: abc+2(1+a+b+c+ab+bc+ca)=abc+2+2(a+b+c)+$(a+b+c)^{2}-a^{2}-b^{2}-c^{2}$=abc+$(a+b+c+1)^{2}\geq 0$
* TH2: abc$< 0$
Ta có: abc+2(a+b+c+ab+bc+ca+1)=2(a+1)(b+1)(c+1)-abc$\geq 0$
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh