Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tuyển tập các bài toán Đại số chuẩn bị cho Olympic toán sinh viên


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 27 trả lời

#1 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 565 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 09-01-2013 - 15:50

Các bài toán trong diễn đàn ta rất nhiều nhưng rời rạc, muốn tìm một bài nào đó thì thật khó khăn. Mình lập topic này với mong muốn là tạo một danh mục các bài toán để mọi người tra cứu, không phải lặn lội đi tìm trong điẽn đàn.

Rất mong sự góp sức của các bạn để danh mục này ngày càng dày thêm.

Chú ý:

1) Đây chỉ là một danh mục các bài toán nên ta không thảo luận ở đây mà thảo luận trong liên kết bên dưới mỗi bài toán.

2) Các bài toán nên đánh số thứ tự cho dễ theo dõi.

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#2 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 565 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 09-01-2013 - 15:57

Bài 1: Tính định thức:

$\begin{vmatrix} a & b & b & ... & b & b\\ -b & a & b & ... & b & b\\ -b & -b & a & ... & b & b\\ ...& ... & ... & ... & ... & ...\\ -b & -b & -b & ... & a & b\\ -b & -b & -b & ... & -b & a \end{vmatrix}$

Thảo luận tại: http://diendantoanho...b-a-endvmatrix/

Bài 2: Tìm tất cả các số thực a,b sao cho: $\begin{bmatrix} a & -b\\ b& a \end{bmatrix}^{4}=\begin{bmatrix} \sqrt{3} & -1\\ 1 & \sqrt{3} \end{bmatrix}$

Thảo luận tại: http://diendantoanho...rt3-endbmatrix/

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 09-01-2013 - 15:57

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#3 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 565 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 09-01-2013 - 16:00

Bài 3: Cho đa thức $f(x)=\frac{1}{a}x^{2}-x+1$ với $a=sin2011\sqrt{2}.cot\sqrt{2}-cos2011\sqrt{2}$ và định thức

$D_{2011}=\begin{vmatrix} 2cos\sqrt{2} & 1 & 0 & ... & 0 & 0\\ 1 & 2cos\sqrt{2} & 1 & ... & 0 & 0\\ 0 & 1 & 2cos\sqrt{2} & ... & 0 & 0\\ ... & ... & ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & 0 & ... & 1 & 2cos\sqrt{2} \end{vmatrix}$

Tính $f(D_{2011})$

Thảo luận tại: http://diendantoanho...2-tinh-fd-2011/

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 09-01-2013 - 16:01

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#4 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 565 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 09-01-2013 - 16:04

Bài 4: Cho A, B là các ma trận vuông cùng cấp. Chứng minh rằng: Nếu $I-AB$ khả nghịch thì $I-BA$ cũng khả nghịch

Thảo luận tại: http://diendantoanho...ung-khả-nghịch/

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#5 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 565 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 09-01-2013 - 16:10

Bài 5:

Cho $A^{n}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$

Tính $\underset{n \to +\propto }{lim}(a_{ij})$ với $i,j=1,2,3$ Biết $A=\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 1 & 1\\ 0 & \frac{1}{3} & 1\\ 0 & 0 & \frac{1}{6} \end{bmatrix}$

Thảo luận tại: http://diendantoanho...a33-endbmatrix/

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 09-01-2013 - 16:11

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#6 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 565 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-01-2013 - 00:53

Bài 6: Cho A, B là các ma trận vuông thực cấp n thỏa mản: AB = BA, A khả nghịch và tồn tại số nguyên r sao cho $B^{r}=0$.
Chứng minh $A+B^{2012}$ khả nghịch.

Thảo luận tại: http://diendantoanho...-chứng-minh-ab/

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#7 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 565 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-01-2013 - 00:57

Bài 7: Cho $A$ là ma trận vuông đối xứng. Chứng minh rằng tòn tại ma trận khả nghịch $B$ sao cho $B-B^{-1}=A$

Thảo luận tai: http://diendantoanho...rận-khả-nghịch/

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#8 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 565 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-01-2013 - 01:02

Bài 8: Giả sử $A,B$ là các ma trận vuông cấp n thỏa $A^{2009}=O$, $B^{2010}=O$ và $AB=BA$. Chứng minh rằng $I+A+B$ khả nghịch

Thảo luận tại: http://diendantoanho...iab-khả-nghịch/

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#9 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 565 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-01-2013 - 01:12

Bài 9: Cho ma trận vuông A cấp n có dạng

$A=\begin{bmatrix} a & 1 & 0 & ... & 0 & 0\\ 0 & a & 1 & ... & 0 & 0\\ 0 & 0 & a & ... & 0 & 0\\ ... & ... & ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & 0 & ... & a & 1\\ 0 & 0 & 0 & ... & 0 & a \end{bmatrix}$ Và $A^{n}=\left ( a_{ij} \right )_{n}$

Tính $\sum_{j=1}^{n}a_{1j}$

Thảo luận tại: http://diendantoanho...của-ma-trận-an/

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#10 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 565 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-01-2013 - 01:20

Bài 10: Cho A là ma trận vuông cấp n có các phần tử trên đường chéo chính bằng 0, các phần tử còn lại bằng 1 hoặc 2000. Chứng minh rằng: $r(A)\geq n-1$

Thảo luận tại: http://diendantoanho...2000-cm-ra-n-1/

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#11 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 565 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-01-2013 - 01:24

Bài 11: Tính định thức:
$D_{n}=\begin{vmatrix} \frac{2}{x} & \frac{1}{x^{2}} & 0 & 0 & ... & 0 & 0\\ 1 & \frac{2}{x} & \frac{1}{x^{2}} & 0 & ... & 0 & 0\\ 0 & 1 & \frac{2}{x} & \frac{1}{x^{2}} & ... & 0 & 0\\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ....\\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 1 & \frac{2}{x} \end{vmatrix}$


Thảo luận tại: http://diendantoanho...1444-dịnh-thức/

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#12 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 565 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-01-2013 - 01:30

Bài 12: Tồn tại hay không tồn tại một ma trận vuông thực cấp 2 thỏa mãn

$A^{2010}=\begin{bmatrix} -1 &0 \\ 0& -1-e \end{bmatrix}$

trong đó e là một hằng số dương.

Thảo luận tại: http://diendantoanho...009-endbmatrix/

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 10-01-2013 - 01:31

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#13 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 565 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-01-2013 - 01:34

Bài 13: Cho $A, B\in M_{n}(\mathbb{R}):Tr(AA^{T}+BB^{T})=Tr(AB+A^{T}B^{T})$ Chứng minh: $A=B^{T}$

Thảo luận tại: http://diendantoanho...chứng-minh-abt/

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#14 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 565 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-01-2013 - 01:52

Bài 14: Cho $A,B\in M_{n}(\mathbb{R})$ thỏa mãn: A không suy biến, $A^{3}+B+A=BA+A^{2}$ và $\exists r\in \mathbb{N}^{*}$ sao cho $B^{r}=O$

Chứng minh rằng $\det (A+B^{2012})\neq 0$

Thảo luận tại: http://diendantoanho...et-ab2012neq-0/

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#15 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 565 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-01-2013 - 02:15

Bài 15: Cho M là ma trận cấp 3x2 và N là ma trận cấp 2x3 thỏa $MN=\begin{bmatrix} 8 & 2 & -2\\ 2 & 5 & 4\\ -2 & 4 & 5 \end{bmatrix}$
Tìm NM?

Thảo luận tại: http://diendantoanho...bmatrix-tim-nm/

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 10-01-2013 - 02:16

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#16 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 565 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-01-2013 - 20:39

Bài 16: Tính định thức

$\begin{vmatrix} x_{1}+y_{1}+1 & x_{1}+y_{2} & \cdots & x_{1}+y_{n}\\ x_{2}+y_{1} & x_{2}+y_{2}+1 & \cdots & x_{2}+y_{n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{n}+y_{1} & x_{n}+y_{2} & \cdots & x_{n}+y_{n}+1 \end{vmatrix}$

Thảo luận tại: http://diendantoanho...tinh-dịnh-thức/

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#17 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 565 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-01-2013 - 21:06

Bài 17: Cho $A=(a_{ij})$ là ma trận vuông cấp n có $a_{ij}=ij$. Đặt $f(x)=\det (I_{n}+xA)$

Tính $f^{'}(0)$

Thảo luận tại: http://diendantoanho...f0/#entry385387

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#18 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 565 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-01-2013 - 21:41

Bài 18: Chứng minh rằng: Nếu A là ma trận vuông có $rank(A)\leq 1$ thì $A^{2}=Tr(A).A$

Thảo luận tại: http://diendantoanho...q-1-thi-a2traa/

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 10-01-2013 - 21:41

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#19 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 565 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-01-2013 - 21:57

Bài 19: Cho A là ma trận vuông cấp n sao cho tồn tại số nguyên dương k thỏa:

$kA^{k+1}=(k+1)A^{k}$


Chứng minh rằng $A-I_{n}$ khả nghịch và tìm $(A-I_{n})^{-1}$

Thảo luận tại: http://diendantoanho...va-tim-a-i-n-1/

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#20 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 565 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 11-01-2013 - 20:54

Bài 20: Cho A, B,C là các ma trận vuông cấp n. Chứng minh rằng:

$rank(AB)+rank(BC)\leq rankB+rank(ABC)$

Thảo luận tại: http://diendantoanho...q-rankbrankabc/

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh