Cho nữa đường tròn (C) nằm về 1 phía của đường thẳng d (tâm của (C) thược d). Gọi C,D là các điểm thuộc (C).Các tiếp tuyến của (C) tại C, D cắt d tại B,A.Gọi $E=AC\cap BD,F\cap (d)$ sao cho $EF\perp d$.
Chứng minh EF là phân giác của $\angle CFD$.
#1
Đã gửi 09-01-2013 - 17:33
namcpnh
-
- Hiệp sỹ
-
- 1153 Bài viết
Red Devil
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
#2
Đã gửi 18-01-2013 - 21:52
perfectstrong
-
- Quản lý Toán Ứng dụng
-
- 5003 Bài viết
$LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$
Lời giải:
Vẽ $DF,CF$ cắt $(O)$ tương ứng lần thứ 2 tại $M,N$. Dễ thấy $CM,DN$ có trung trực là $AB$. Gọi $J,K$ là giao điểm của $AB$ với $(O)$ sao cho $A,K,J,B$ thẳng hàng theo thứ tự đó.
Bỏ qua TH đơn giản $CD \parallel AB$. Gọi $I$ là giao điểm của $CD$ và $AB$. Không mất tính tổng quát, ta xét TH như hình vẽ.
\[
\angle JCI = \angle JCB + \angle BCI = \angle CKJ + \angle GCD = \angle CKJ + \angle CKD = \angle DKJ = \angle NKJ = \angle JCN
\]
Suy ra $CJ$ là phân giác của $\angle FCI$. Mà $CK \perp CJ$ suy ra $(IFJK)=-1$.
Vì $O$ là trung điểm $JK$ nên theo hệ thức Maclaurin:\[
\overline {IF} .\overline {IO} = \overline {IJ} .\overline {IK} = \overline {IC} .\overline {ID}
\]
Suy ra $C,D,O,F$ đồng viên. Mà chú ý rằng $G,C,F,D$ đồng viên nên ta có $G,C,F,D,O$ đồng viên.
$GC=GD \Rightarrow \angle GFC=\angle GFD \Rightarrow Q.E.D$
Vẽ $DF,CF$ cắt $(O)$ tương ứng lần thứ 2 tại $M,N$. Dễ thấy $CM,DN$ có trung trực là $AB$. Gọi $J,K$ là giao điểm của $AB$ với $(O)$ sao cho $A,K,J,B$ thẳng hàng theo thứ tự đó.
Bỏ qua TH đơn giản $CD \parallel AB$. Gọi $I$ là giao điểm của $CD$ và $AB$. Không mất tính tổng quát, ta xét TH như hình vẽ.
\[
\angle JCI = \angle JCB + \angle BCI = \angle CKJ + \angle GCD = \angle CKJ + \angle CKD = \angle DKJ = \angle NKJ = \angle JCN
\]
Suy ra $CJ$ là phân giác của $\angle FCI$. Mà $CK \perp CJ$ suy ra $(IFJK)=-1$.
Vì $O$ là trung điểm $JK$ nên theo hệ thức Maclaurin:\[
\overline {IF} .\overline {IO} = \overline {IJ} .\overline {IK} = \overline {IC} .\overline {ID}
\]
Suy ra $C,D,O,F$ đồng viên. Mà chú ý rằng $G,C,F,D$ đồng viên nên ta có $G,C,F,D,O$ đồng viên.
$GC=GD \Rightarrow \angle GFC=\angle GFD \Rightarrow Q.E.D$
- L Lawliet, ilovemath97 và phanquockhanh thích
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! 
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hình
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
