Chủ đề này có 1 trả lời

[dactai10a1]

Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho tồn tại một hoán vị (p₁, p₂,..., p_n) của các số (1, 2, ..., n) thỏa mãn điều kiện các tập hợp { p_i + i | 1 ≤ i ≤ n} và { p_i - i | 1 ≤ i ≤ n} tạo thành hệ thặng dư đầy đủ modulo n

[Secrets In Inequalities VP]

Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho tồn tại một hoán vị (p₁, p₂,..., p_n) của các số (1, 2, ..., n) thỏa mãn điều kiện các tập hợp { p_i + i | 1 ≤ i ≤ n} và { p_i - i | 1 ≤ i ≤ n} tạo thành hệ thặng dư đầy đủ modulo n

Do { p_i + i | 1 ≤ i ≤ n} tạo thành hệ thặng dư đầy đủ (HĐĐ) modulo $n$ nên : $\sum_{i=1}^{n}{p_i}+i\equiv \sum_{i=1}^{n}i(Modn)$
Mà do (p₁, p₂,..., p_n) là hoán vị của tập (1, 2, ..., n) nên $\sum_{i=1}^{n}{p_i}+i\equiv 2\sum_{i=1}^{n}i(Modn)$
suy ra $\sum_{i=1}^{n}i\equiv 2\sum_{i=1}^{n}i(Modn)\Rightarrow \sum_{i=1}^{n}i\equiv 0(Modn)\Rightarrow 1+2+...+n\equiv 0(Modn)\Rightarrow \frac{n(n+1)}{2}\equiv 0(Modn)$
Suy ra $n$ phải lẻ .
Do { p_i + i | 1 ≤ i ≤ n} cũng tạo thành HĐĐ modulo $n$ nên :$2\sum_{i=1}^{n}i^{2}\equiv \sum_{i=1}^{n}(({p_i}+i)^2+({p_i}-i)^2)\equiv \sum_{i=1}^{n}2{p_i}^{2}+2i^{2}$
Mà do (p₁, p₂,..., p_n) là hoán vị của tập (1, 2, ..., n) nên $\sum_{i=1}^{n}2{p_i}^{2}+2i^{2}\equiv 4\sum_{i=1}^{n}i^{2}(Modn)$
Suy ra $2\sum_{i=1}^{n}i^{2}\equiv 4\sum_{i=1}^{n}i^{2}(Modn)\Rightarrow 2\sum_{i=1}^{n}i^{2}\equiv0(Modn)\Rightarrow 2.(1^{2}+2^{2}+...+n^{2})\equiv 0(Modn)\Rightarrow \frac{n(n+1)(2n+1)}{3}\equiv 0(Modn)$
Suy ra $n$ không chia hết cho 3.
Từ $2$ điều trên ta có : $(n,6)= 1$
Bây giờ ta chứng minh là nếu $(n,6)= 1$ thì tồn tại một hoán vị (p₁, p₂,..., p_n) thỏa mãn bài toán.
Chọn ${p_i}\equiv 2i(Modn)$, ${p_i}\in {1, 2, ..., n}$. Ta có {p₁, p₂,..., p_n} thỏa đề vì $pi + i | 1\leq i\leqn\equiv 3i | 1 \leq i \leq n$ và $pi - i | 1\leq i\leq n \equiv i | 1 \leq i \leq n$ là các hệ thặng dư đầy đủ mô-đun n.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Secrets In Inequalities VP: 10-01-2013 - 21:55