Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

$MN=\begin{bmatrix} 8 & 2 & -2\\ 2 & 5 & 4\\ -2 & 4 & 5 \end{bmatrix}$ Tìm NM?


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 16 trả lời

#1 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 572 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Học Sư phạm Toán, ĐH Sư phạm TP HCM

Đã gửi 10-01-2013 - 02:14

Cho M là ma trận cấp 3x2 và N là ma trận cấp 2x3 thỏa $MN=\begin{bmatrix} 8 & 2 & -2\\ 2 & 5 & 4\\ -2 & 4 & 5 \end{bmatrix}$
Tìm NM?

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#2 cuong148

cuong148

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHSP

Đã gửi 01-02-2013 - 08:39

Cho M là ma trận cấp 3x2 và N là ma trận cấp 2x3 thỏa $MN=\begin{bmatrix} 8 & 2 & -2\\ 2 & 5 & 4\\ -2 & 4 & 5 \end{bmatrix}$
Tìm NM?

Anh Đức post lời giải lên được không ạ.
Em chỉ thấy mỗi Trace và det là không đổi.Nhưng thế thì vẫn thiếu dữ kiện.
Không biết từ cái đối xứng của MN thu thêm đưọc cái gì khô[email protected]@.Mong anh gợi ý.em nghĩ mấy ngày rồi.:(

#3 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 572 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Học Sư phạm Toán, ĐH Sư phạm TP HCM

Đã gửi 01-02-2013 - 09:50

Bài này là đề Olympic của nước ngoài hình như là lâu lắm rồi. Nhưng năm 2009 thì ĐH Quy Nhơn lấy nó làm đề dự tuyển năm đó.

Dưới đây là lời giải của mình. hi.
....................

 

Ta dể dàng tính được rằng
 

$(MN)^{2}=9(MN)$


$rank(MN)=2$


Ta có:


$2=rank(MN)=rank(\frac{1}{9}(MN)^{2})=rank(MNMN \leq rank(NM)$

 

Mà $NM \in M_{2}(\mathbb{K})$ nên $rank(NM)=2$

Suy ra $NM$ khả nghịch.

Ta có:


$(NM)^{2}=NMNM=N.\frac{1}{9}(MN)^{2}.M=\frac{1}{9}(NM)^{3}$

Suy ra $NM=9I_{2}$ vì $NM$khả nghịch

.......................
Trong quá trình chứng minh có sử dụng kết quả sau:

"$\forall (A, B, C) \in M_{n,p}(\mathbb{K}) \times M_{p,q}(\mathbb{K}) \times M_{q,r}(\mathbb{K}), rank(ABC) \leq rank(B)$"


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 17-03-2014 - 07:16

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#4 cuong148

cuong148

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHSP

Đã gửi 01-02-2013 - 10:01

Hình như không hợp lí rồi anh ạ.
Vì $det(MN)=det(NM)=0$.nhưng theo bài anh thì $det(NM)=81$
Có chỗ không ổn ở $(MN)^2$ vì rank của nó phải là 1. :)
Anh nghĩ ra được cái $(MN)^2=9MN$ thật tuyệ[email protected]@.
Liệu rằng khi người ta cho $A^n=mA$ thì có tính được A???
À còn 1 điều lạ lùng nữa.9 lại chính là giá trị riêng của A.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cuong148: 01-02-2013 - 10:11


#5 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 572 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Học Sư phạm Toán, ĐH Sư phạm TP HCM

Đã gửi 01-02-2013 - 10:10

Tại sao $\det MN=\det NM$vậy Thắng?????

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#6 cuong148

cuong148

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHSP

Đã gửi 01-02-2013 - 10:15

Tại sao $\det MN=\det NM$vậy Thắng?????

Em là cường anh ạ.
Vậy là nó không đúng khi 2 cái đó không cùng cấp.:)

............
@cuong 148
Hi. Anh nhớ nhầm tên. Xin lỗi nha!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 01-02-2013 - 11:28


#7 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 572 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Học Sư phạm Toán, ĐH Sư phạm TP HCM

Đã gửi 01-02-2013 - 14:36

Dể dàng kiểm tra được rằng $(AB)^{2}=9(AB)$

Ta có thể viết:
 

$(BA)^{3}=B.(AB)^{2}.A=9B(AB)A=9(BA)^{2}$


Suy ra $(BA)^{2}(BA-9I_{2})=O$

Nếu $f$ là đa thức tối thiểu của $BA$ thì $f$ là ước của $x^{2}(x-9)$ và $Deg(f)\leq 2$.


(1) Nếu $f=x$ thì $BA=O$ suy ra $AB=O$ vì $O=A(BA)B=(AB)^{2}=9AB$, điều này vô lý.


(2) Nếu $f=x^{2}$ thì $(BA)^{2}=O$ kéo theo $Tr(AB)=Tr(BA)=0$, vô lý


(3) Nếu $f=x(x-9)$ thì $Tr(AB)=Tr(BA)=9$, vô lý.


(4) Nếu $f=x-9$ ta có $BA-9I_{2}=O$. Vậy $BA=9I_{2}$. Đây là kết quả mong muốn.

 

...............
Nhận xét: Ý tưởng là tìm đa thức tối thiểu f của $BA$. Có 4 khả năng của f thì 3 khả năng đầu là vô lý. Vậy chỉ còn khả năng cuối cùng. Có gì không ổn không ta??

Chổ (2) và (3) có thể sẽ có thắc mắc. Gợi ý là chúng ta sử dụng kết quả sau:

Cho A là ma trận vuông cấp 2 thì đa thức đặc trưng của A là
 

$f(x)=x^{2}-Tr(A)x+det(A)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 17-03-2014 - 07:13

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#8 cuong148

cuong148

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHSP

Đã gửi 01-02-2013 - 23:22

(1) Nếu $f=x$ thì $BA=O$ suy ra $AB=O$ vì $O=A(BA)B=(AB)^{2}=9AB$, điều này vô lý.

(2) Nếu $f=x^{2}$ thì $(BA)^{2}=O$ kéo theo $Tr(AB)=Tr(BA)=0$, vô lý

(3) Nếu $f=x(x-9)$ thì $Tr(AB)=Tr(BA)=9$, vô lý.

(4) Nếu $f=x-9$ ta có $BA-9I_{2}=O$. Vậy $BA=9I_{2}$. Đây là kết quả mong muốn.

...............
Nhận xét: Ý tưởng là tìm đa thức tối thiểu f của $BA$. Có 4 khả năng của f thì 3 khả năng đầu là vô lý. Vậy chỉ còn khả năng cuối cùng. Có gì không ổn không ta??


Nên đổi xét cái 4 lên thay thế cái 2 thì hợp lí hơn.:).em nghĩ vậy.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 02-02-2013 - 09:21


#9 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 572 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Học Sư phạm Toán, ĐH Sư phạm TP HCM

Đã gửi 02-02-2013 - 09:28

Đấy là lập luận của người ta mà em. Anh chỉ dịch lại thôi (phần đánh số là anh thêm vào cho chúng ta dễ thảo luận). hi. Nó cũng có cái lý của nó. Anh cũng từng có suy nghĩ như em vậy. Nhưng rồi đọc kỹ lại mới hiểu cái lập luận của tác giả. Vì vậy mới có thêm nhận xét bên dưới đó. hi.

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#10 letrongvan

letrongvan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 213 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 21-03-2013 - 21:57





Ta có:

$(NM)^{2}=NMNM=N.\frac{1}{9}(MN)^{2}.M=\frac{1}{9}(NM)^{3}$

Suy ra $NM=9I_{2}$ vì $NM$khả nghịch

.......................
Trong quá trình chứng minh có sử dụng kết quả sau:

"$\forall (A, B, C) \in M_{n,p}(\mathbb{K}) \times M_{p,q}(\mathbb{K}) \times M_{q,r}(\mathbb{K}), rank(ABC) \leq rank(B)$"

 

Cái này em thấy sai rồi đại ca, $(NM)^{2}=\frac{1}{9}.(NM).(MN).(NM)$ chứ anh! các cái trên thì công nhận,hi


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letrongvan: 21-03-2013 - 21:59

Tào Tháo


#11 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 572 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Học Sư phạm Toán, ĐH Sư phạm TP HCM

Đã gửi 22-03-2013 - 01:03

Xem lại cho kỹ nha Vàn!!!

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#12 letrongvan

letrongvan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 213 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 22-03-2013 - 02:26

Rỗ ràng mà anh? Hay anh giải thích em nghe tại sao $N.(MN)^{2}.M$=$(N.M)^{3}$

Tào Tháo


#13 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 572 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Học Sư phạm Toán, ĐH Sư phạm TP HCM

Đã gửi 22-03-2013 - 08:12

$N.(MN)^{2}.M=N.MN.MN.M=(NM)^{3}$

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#14 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 572 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Học Sư phạm Toán, ĐH Sư phạm TP HCM

Đã gửi 23-07-2013 - 12:22

Sáng nay tiếp cận ý tưởng khác cho bài này. Ý tưởng lấy từ một bài khác trên AoPS. Nhưng cũng phải mất khoảng hơn một giờ đồng hồ để nhận thấy cái đặc biệt của bài toán chúng ta đang xét. Bài này đúng là đẹp thật.

.........................................................

 

MA TRAN.JPG

Ta viết M, N dưới dạng ma trận khối.

 

$M=\begin{pmatrix} X\\ Y \end{pmatrix}$ và $N=\begin{pmatrix} U & V \end{pmatrix}$

 

Trong đó $X\in M_{1\times 2}(\mathbb{R}),Y\in M_{2\times 2}(\mathbb{R}),U\in M_{2\times 1}(\mathbb{R}),V\in M_{2\times 2}(\mathbb{R})$

 

Ta có 

$MN=\begin{pmatrix} XU & XV\\ UX & YV \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8 & 2 & -2\\ 2 & 5 & 4\\ -2 & 4 & 5 \end{pmatrix}$

 

$NM=(UX+VY)=UX+VY$

 

Suy ra $\left\{\begin{matrix} XU=(8)\\ XV=\begin{pmatrix} 2 & -2 \end{pmatrix}\\ YU=\begin{pmatrix} 2\\ -2 \end{pmatrix}\\ YV=\begin{pmatrix} 5 & 4\\ 4 & 5 \end{pmatrix} \end{matrix}\right.$

 

Nhận xét rằng $YU.XV=\begin{pmatrix} 4 & -4\\ -4 & 4 \end{pmatrix}$

 

Suy ra

$YV+YUXV=9I_{2}\Leftrightarrow Y(I_2+UX)V=9I_2$

 

Từ đây ta suy ra $Y,V$ khả nghịch và

 

$\left ( (I_2+UX)V \right ).Y=9I_2\Leftrightarrow VY+UXVY=9I_2$

 

Mặt khác ta cũng có nhận xét rằng $YU.YV.XV=\begin{pmatrix} 4 & -4\\ -4 & 4 \end{pmatrix}$

 

Suy ra               $YUYVXV=YUXV$

 

Vì $Y,V$ khả nghịch nên ta suy ra   $UYVX=UX$

 

Vậy $NM=UX+VY=UXVY+VY=9I_2$

 

............................................................

Anh em góp ý thêm nha!

Trong chủ đề này bài toán của ta đã có 3 hướng tiếp cận. Tuy nhiên xem ra cách tiếp cận đầu tiên có lẻ là nhẹ nhàng nhất.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 23-07-2013 - 12:22

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#15 ChangBietDatTenSaoChoDoc

ChangBietDatTenSaoChoDoc

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:nơi nào đó
  • Sở thích:Manga, Anime, Volleyball,...

Đã gửi 27-03-2014 - 09:37

 

Mặt khác ta cũng có nhận xét rằng $YU.YV.XV=\begin{pmatrix} 4 & -4\\ -4 & 4 \end{pmatrix}$

 

 

A ơi, chỗ này phép nhân đâu có nghĩa. (2x2) (2x1) (2x2)...


Success is getting what you want

Happiness is wanting what you get

$\LARGE { \wp \theta \eta \alpha \iota -\wp \mu \varsigma \kappa}$


#16 YeuEm Zayta

YeuEm Zayta

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 121 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Đai Học Dầu Khí Việt Nam
  • Sở thích:Gym

Đã gửi 27-03-2014 - 23:55

A ơi, chỗ này phép nhân đâu có nghĩa. (2x2) (2x1) (2x2)...

$YUXVYV$ anh Đức viết nhầm đấy bạn.


                                                                          OLP TOÁN SV TRÊN FACEBOOK: http://www.facebook....5/?notif_t=like  29.gif

 


#17 1414141

1414141

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 132 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ha Noi 2

Đã gửi 14-06-2014 - 13:06

Anh ơi sao anh tìm ra được đẳng thức $(MN)^2=9MN$
Tôi đang thay đổi !




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh