Chủ đề này có 2 trả lời

[hand of god]

Giải hệ phương trình$\left\{\begin{matrix} \sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}+\sqrt{\frac{x^{2}+xy+y^{2}}{3}}=x+y & & \\ x\sqrt{2xy+5x+3}=4xy-5x-3& & \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 10-01-2013 - 19:03

[IloveMaths]

áp dụng bất đẳng côsi
$\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}\geqslant \frac{x+y}{2}$
$\sqrt{\frac{x^2+xy+y^2}{3}}\geqslant \frac{x+y}{2}$:
$\Rightarrow \sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}+\sqrt{\frac{x^2+xy+y^2}{3}}\geqslant {x+y}$$\Rightarrow \sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}+\sqrt{\frac{x^2+xy+y^2}{3}}\geqslant {x+y}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi x=y, thay vào phương trình dưới.

[triethuynhmath]

Giải hệ phương trình$\left\{\begin{matrix} \sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}+\sqrt{\frac{x^{2}+xy+y^{2}}{3}}=x+y & & \\ x\sqrt{2xy+5x+3}=4xy-5x-3& & \end{matrix}\right.$

Ta có:
$\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}\geq \frac{x+y}{2}$
$\frac{\sqrt{x^2+xy+y^2}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{\frac{3}{4}(x+y)^2+\frac{1}{4}(x-y)^2}{3}}\geq \frac{x+y}{2}$
Vậy cộng vế theo về ta được $VT(1) \geq VP(1)$.Vậy để dấu đẳng thức xảy ra thì:$x=y$.
Vậy:$x\sqrt{2x^2+5x+3}+5x+3-4x^2=0\Leftrightarrow 2x^2+5x+3+x\sqrt{2x^2+5x+3}-6x^2=0\Leftrightarrow (\sqrt{2x^2+5x+3}-2x)(\sqrt{2x^2+5x+3}+3x)=0\Leftrightarrow ...$