Chủ đề này có 6 trả lời

[Nguyen Hung Phong]

Tìm số tự nhiên n để :${\left( {{n^2} - 8} \right)^2} + 36$ là số nguyên tố

[N H Tu prince]

Tìm số tự nhiên n để :${\left( {{n^2} - 8} \right)^2} + 36$ là số nguyên tố

Nếu n chẵn thì không nguyên tố,suy ra n lẻ,đặt $n=2k+1$ được
$(4k^2+4k-7)^2+36$
$4k^2+4k-7\equiv 1(mod 4)=>(4k^2+4k-7)^2\equiv 1(mod4)=>(4k^2+4k-7)^2+36\equiv 2(mod4)$ không nguyên tố
vậy không tồn tại n thỏa mãn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangngocbao1997: 10-01-2013 - 20:59

[Nguyen Hung Phong]

Bạn giải sai rồi, dễ thấy n =3 thỏa mãn mà

[DarkBlood]

Ta có:
$(n^2-8)^2+36=(n^2-6n+10)(n^2+6n+10)$
Để $(n^2-8)^2+36$ là số nguyên tố thì $n^2-6n+10=1$ hoặc $n^2+6n+10=1$
TH1: $n^2-6n+10=1$
$\Leftrightarrow$ $n=3$
Thử lại thấy đúng.
TH2: $n^2+6n+10=1$
$\Leftrightarrow$ $n=-3$ $($Loại vì $n\in \mathbb{N})$
Vậy với $n=3$ thì $(n^2-8)^2+36$ là số nguyên tố.

Nếu n chẵn thì không nguyên tố,suy ra n lẻ,đặt $n=2k+1$ được
$(4k^2+4k-7)^2+36$
$4k^2+4k-7\equiv 1(mod 4)$ $=>(4k^2+4k-7)^2\equiv 1(mod4)$
$=>(4k^2+4k-7)^2+36\equiv 2(mod4)$ không nguyên tố
vậy không tồn tại n thỏa mãn

Chỗ em bôi đỏ phải là $(4k^2+4k-7)^2+36\equiv 1(\bmod4)$ chứ, vì $(4k^2+4k-7)^2\equiv 1(\bmod4)$ và $36\equiv 0(\bmod4)$ mà.
_____________
P/s: Mới vừa giải bài này xong ở cái topic khác giống hệt cái này thì bật lại ai xóa cái topic đó luôn >"<.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 10-01-2013 - 21:14

[chaugaihoangtuxubatu]

*Xét với $n=1;2;3$
*Xét với $n>3$
Dễ chứng minh $SCP\equiv 0;1;4$ (mod 5) (1)
Thấy $36\equiv 1$ (mod 5) nên A là SNT khi và chỉ khi $(n^2-8)^2\equiv 0;1;2;3$ (mod 5)
Kết hợp với (1) $\Rightarrow (n^2-8)^2\equiv 0;1$ (mod 5) (2)
Mà $n^2\equiv 0;1;4$ (mod 5)$\Rightarrow n^2-8\equiv 1;2;3$ (mod 5) (3)
Từ (2) và (3) $\Rightarrow n^2-8\equiv 1$ (mod 5) (4)
Mà $n$ lại là số lẻ $\Rightarrow n^2-8$ là số lẻ.
Kết hợp với (4) $\Rightarrow n^2-8$ có tận cùng là 1 $\Rightarrow n^2$ có tận cùng là 9 (vô lí).
Vậy STN cần tìm là $3$.
Mình làm vội, không biết có sai sót gì không, mong m.n sửa chữa.
P/s : mình cũng đang định sang topic đó thì ai lại xóa luôn rồi

Hoang Huy Thong

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chaugaihoangtuxubatu: 10-01-2013 - 21:41

[DarkBlood]

*Xét với $n=1;2;3$
*Xét với $n>3$
Dễ chứng minh $SCP\equiv 0;1;4$ (mod 5) (1)
Thấy $36\equiv 1$ (mod 5) nên A là SNT khi và chỉ khi $(n^2-8)^2\equiv 0;1;2;3$ (mod 5)
Kết hợp với (1) $\Rightarrow (n^2-8)^2\equiv 0;1$ (mod 5) (2)
Mà $n^2\equiv 0;1;4$ (mod 5)$\Rightarrow n^2-8\equiv 1;2;3$ (mod 5) (3)
Từ (2) và (3) $\Rightarrow n^2-8\equiv 1$ (mod 5) (4)
Mà $n$ lại là số lẻ $\Rightarrow n^2-8$ là số lẻ.
Kết hợp với (4) $\Rightarrow n^2-8$ có tận cùng là 1 $\Rightarrow n^2$ có tận cùng là 9 (vô lí).
Vậy STN cần tìm là $3$.
Mình làm vội, không biết có sai sót gì không, mong m.n sửa chữa.
P/s : mình cũng đang định sang topic đó thì ai lại xóa luôn rồi

Ở chỗ "khi và chỉ khi" mình nghĩ là dùng "suy ra" hợp lí hơn vì nếu có $(n^2-8)^2\equiv 0;1;2;3 (\bmod 5)$ thì không suy ra được $A$ là số nguyên tố.
Còn ở chỗ "$n^2$ có tận cùng là $9$ (vô lí)" bạn giải thích cho mình ý này nhé! Còn nếu như theo bạn một số chính phương không thể tận cùng bằng $9$ thì sai rồi, ví dụ như: $13^2=169;$ $23^2=529;...$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 10-01-2013 - 22:35

[chaugaihoangtuxubatu]

Ở chỗ "khi và chỉ khi" mình nghĩ là dùng "suy ra" hợp lí hơn vì nếu có $(n^2-8)^2\equiv 0;1;2;3 (\bmod 5)$ thì không suy ra được $A$ là số nguyên tố.
Còn ở chỗ "$n^2$ có tận cùng là $9$ (vô lí)" bạn giải thích cho mình ý này nhé! Còn nếu như theo bạn một số chính phương không thể tận cùng bằng $9$ thì sai rồi, ví dụ như: $13^2=169;$ $23^2=529;...$

Hì, sai mất rồi ^^ Tại mình không thuộc chữ số tận cùng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chaugaihoangtuxubatu: 10-01-2013 - 22:40