Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$S = \sum\limits_{k = m}^n {\frac{1}{k}} \left( {m,n \in {^*}} \right)$ không là số nguyên.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 NLT

NLT

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 871 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:I Love Mathematics :) <3

Đã gửi 11-01-2013 - 10:33

Chứng minh rằng tổng: $S = \sum\limits_{k = m}^n {\frac{1}{k}} \left(m,n \in\mathbb N^*\right)$ không là số nguyên. $(n \ge m+1)$
___
NLT

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 11-01-2013 - 17:32

GEOMETRY IS WONDERFUL !!!

Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.


Nguyễn Lâm Thịnh

#2 Secrets In Inequalities VP

Secrets In Inequalities VP

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên Vĩnh Phúc
  • Sở thích:Xem phim.

Đã gửi 11-01-2013 - 16:15

Chứng minh rằng tổng: $S = \sum\limits_{k = m}^n {\frac{1}{k}} \left(m,n \in\mathbb N^*\right)$ không là số nguyên.

Kí hiệu $v(x)$ là số mũ lớn nhất của $2$ trong $x$.
Giả sử $S$ là số nguyên .
Đặt $m= lcm[1,2,...,n]$ suy ra $m$ là số chẵn.
Do đó : $mS= \frac{m}{1}+\frac{m}{2}+...+\frac{m}{n}$ là số chẵn.
Đặt ${a_k}= v(k)$ với mọi $k=1,2,...,n$.
Gọi ${a_s}= max({a_k})$ $\Rightarrow v(m)= {a_s}$
Giả sử ngoài $s$ ra còn có số $t$ sao cho ${a_t}= {a_s}$ thì viết $t=2^{{a_t}}.{t_1};s=2^{{a_s}}.{s_1}$ trong đó ${t_1},{s_1}$ lẻ.
Suy ra tồn tại số chẵn ${r_1}$ nằm giữa ${s_1}$ và ${t_1}$ $\Rightarrow r= 2^{{a_s}}.{r_1}<t< m\Rightarrow r|m$
Nhưng $r= 2^{{a_s}}.{r_1}\vdots 2^{{a_s}+1}>2^{{a_s}}= v(m)$ suy ra vô lí.
Vậy tồn tại duy nhất số $s$ sao cho ${a_s}= max({a_k})$.Suy ra trong các số $\frac{m}{k}$ chỉ có $\frac{m}{s}$ chẵn.
Suy ra $mS= \frac{m}{1}+\frac{m}{2}+...+\frac{m}{n}$ là lẻ.Mâu thuẫn với ở trên.
$\Rightarrow Q.E.D$
____________________
@hxthanh: $0$ điểm vì chứng minh sai yêu cầu của đề! :))

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 11-01-2013 - 20:32


#3 Secrets In Inequalities VP

Secrets In Inequalities VP

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên Vĩnh Phúc
  • Sở thích:Xem phim.

Đã gửi 11-01-2013 - 19:08

Chứng minh rằng tổng: $S = \sum\limits_{k = m}^n {\frac{1}{k}} \left(m,n \in\mathbb N^*\right)$ không là số nguyên. $(n \ge m+1)$
___
NLT

Chết thật ! Lúc đấy mắt mũi cà là té hay sao ấy ! :biggrin: Fix lại như sau , ý tưởng vẫn như lời giải sai ở trên :
Đặt $n= m+i$.
Kí hiệu $v(x)$ là số mũ lớn nhất của $2$ trong $x$.
Giả sử $S$ là số nguyên .
Đặt $K= lcm[m,m+1,m+2,...,m+i]$ suy ra $K$ là số chẵn.
Do đó : $KS= \frac{K}{m}+\frac{K}{m+1}+...+\frac{K}{m+i}$ là số chẵn.
Đặt ${a_k}= v(k)$ với mọi $k=m,m+1,m+2,...,m+i$.
Gọi ${a_s}= max({a_k})$ $\Rightarrow v(K)= {a_s}$
Giả sử ngoài $s$ ra còn có số $t$ sao cho ${a_t}= {a_s}$ thì viết $t=2^{{a_t}}.{t_1};s=2^{{a_s}}.{s_1}$ trong đó ${t_1},{s_1}$ lẻ.
Suy ra tồn tại số chẵn ${r_1}$ nằm giữa ${s_1}$ và ${t_1}$ $\Rightarrow r= 2^{{a_s}}.{r_1}<t<K\Rightarrow r|K$
Nhưng $r= 2^{{a_s}}.{r_1}\vdots 2^{{a_s}+1}>2^{{a_s}}= v(K)$ suy ra vô lí.
Vậy tồn tại duy nhất số $s$ sao cho ${a_s}= max({a_k})$.Suy ra trong các số $\frac{K}{k}$ chỉ có $\frac{K}{s}$ chẵn.
Suy ra $KS= \frac{K}{m}+\frac{K}{m+1}+...+\frac{K}{m+i}$ là lẻ.Mâu thuẫn với ở trên.
$\Rightarrow Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Secrets In Inequalities VP: 11-01-2013 - 19:22





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh