Chủ đề này có 2 trả lời

[NLT]

Chứng minh rằng tổng: $S = \sum\limits_{k = m}^n {\frac{1}{k}} \left(m,n \in\mathbb N^*\right)$ không là số nguyên. $(n \ge m+1)$
___
NLT

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 11-01-2013 - 17:32

[Secrets In Inequalities VP]

Chứng minh rằng tổng: $S = \sum\limits_{k = m}^n {\frac{1}{k}} \left(m,n \in\mathbb N^*\right)$ không là số nguyên.

Kí hiệu $v(x)$ là số mũ lớn nhất của $2$ trong $x$.
Giả sử $S$ là số nguyên .
Đặt $m= lcm[1,2,...,n]$ suy ra $m$ là số chẵn.
Do đó : $mS= \frac{m}{1}+\frac{m}{2}+...+\frac{m}{n}$ là số chẵn.
Đặt ${a_k}= v(k)$ với mọi $k=1,2,...,n$.
Gọi ${a_s}= max({a_k})$ $\Rightarrow v(m)= {a_s}$
Giả sử ngoài $s$ ra còn có số $t$ sao cho ${a_t}= {a_s}$ thì viết $t=2^{{a_t}}.{t_1};s=2^{{a_s}}.{s_1}$ trong đó ${t_1},{s_1}$ lẻ.
Suy ra tồn tại số chẵn ${r_1}$ nằm giữa ${s_1}$ và ${t_1}$ $\Rightarrow r= 2^{{a_s}}.{r_1}<t< m\Rightarrow r|m$
Nhưng $r= 2^{{a_s}}.{r_1}\vdots 2^{{a_s}+1}>2^{{a_s}}= v(m)$ suy ra vô lí.
Vậy tồn tại duy nhất số $s$ sao cho ${a_s}= max({a_k})$.Suy ra trong các số $\frac{m}{k}$ chỉ có $\frac{m}{s}$ chẵn.
Suy ra $mS= \frac{m}{1}+\frac{m}{2}+...+\frac{m}{n}$ là lẻ.Mâu thuẫn với ở trên.
$\Rightarrow Q.E.D$
____________________
@hxthanh: $0$ điểm vì chứng minh sai yêu cầu của đề!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 11-01-2013 - 20:32

[Secrets In Inequalities VP]

Chứng minh rằng tổng: $S = \sum\limits_{k = m}^n {\frac{1}{k}} \left(m,n \in\mathbb N^*\right)$ không là số nguyên. $(n \ge m+1)$
___
NLT

Chết thật ! Lúc đấy mắt mũi cà là té hay sao ấy ! Fix lại như sau , ý tưởng vẫn như lời giải sai ở trên :
Đặt $n= m+i$.
Kí hiệu $v(x)$ là số mũ lớn nhất của $2$ trong $x$.
Giả sử $S$ là số nguyên .
Đặt $K= lcm[m,m+1,m+2,...,m+i]$ suy ra $K$ là số chẵn.
Do đó : $KS= \frac{K}{m}+\frac{K}{m+1}+...+\frac{K}{m+i}$ là số chẵn.
Đặt ${a_k}= v(k)$ với mọi $k=m,m+1,m+2,...,m+i$.
Gọi ${a_s}= max({a_k})$ $\Rightarrow v(K)= {a_s}$
Giả sử ngoài $s$ ra còn có số $t$ sao cho ${a_t}= {a_s}$ thì viết $t=2^{{a_t}}.{t_1};s=2^{{a_s}}.{s_1}$ trong đó ${t_1},{s_1}$ lẻ.
Suy ra tồn tại số chẵn ${r_1}$ nằm giữa ${s_1}$ và ${t_1}$ $\Rightarrow r= 2^{{a_s}}.{r_1}<t<K\Rightarrow r|K$
Nhưng $r= 2^{{a_s}}.{r_1}\vdots 2^{{a_s}+1}>2^{{a_s}}= v(K)$ suy ra vô lí.
Vậy tồn tại duy nhất số $s$ sao cho ${a_s}= max({a_k})$.Suy ra trong các số $\frac{K}{k}$ chỉ có $\frac{K}{s}$ chẵn.
Suy ra $KS= \frac{K}{m}+\frac{K}{m+1}+...+\frac{K}{m+i}$ là lẻ.Mâu thuẫn với ở trên.
$\Rightarrow Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Secrets In Inequalities VP: 11-01-2013 - 19:22