Bài 3. (5,0 điểm)
Cho tam giác không cân $ABC$. Kí hiệu $(I)$ là đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác $ABC$ và $D,E,F$ là các tiếp điểm của $(I)$ với $BC,CA,AB$. Đường thẳng qua $E$ vuông góc $BI$ cắt $(I)$ tại $K$ khác $E$, đường thẳng qua $F$ vuông góc $CI$ cắt $(I)$ tại $L$ khác $F$. Gọi $J$ là trung điểm $KL$
a) Chứng minh $D,I,J$ thẳng hàng.
b) Giả sử $B,C$ cố định, $A$ thay đổi sao cho tỷ số $\frac{AB}{AC}=k$ không đổi. Gọi $M,N$ tương ứng là các giao điểm $IE, IF$ với $(I)$ ($M$ khác $E$, $N$ khác $F$). $MN$ cắt $IB, IC$ tại $P,Q$. Chứng minh đường trung trực $PQ$ luôn qua 1 điểm cố định.
Đùa, hình lằng nhằng quá !
a) Chắc là câu gỡ điểm nên mới dễ như thế
b) Gọi $BI,CI$ cắt $EF$ tại $S,H$
Khi đó ta có: $\angle HFB=\angle AFE=90^o-\dfrac{\angle BAC}{2}=\dfrac{\angle ABC+\angle ACB}{2}=\angle HIB$
Suy ra tứ giác $HFIB$ nội tiếp
Suy ra $\angle BHC=\angle BFI=90^o$
Suy ra $BHSC$ nội tiếp
Mà $HS//PQ$ nên $\angle IPQ=\angle HSI=\angle ICB$
Suy ra $\Delta IPQ$ và $\Delta ICB$ đồng dạng
Gọi Trung trực PQ cắt BC tại G, cắt PQ tại T,
AI cắt PQ tại R, cắt BC tại U, cắt EF tại V
Đường thẳng qua O vuông góc với AI cắt AI tại W
Z là trung điểm HS
O là trung điểm BC
Ta có: $RT=ZV$
Do $Z$ là trung điểm HS mà $O$ là tâm đường tròn tứ giác BCSH nên OZ vuông góc với HS hay $OZ//AW$
Suy ra $ZV=OW=RT$ suy ra $OU=UG$ suy ra $G$ cố định
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 11-01-2013 - 21:28