Đến nội dung

Hình ảnh

VMO 2013 - Bài 3. Hình học

- - - - - vmo 2013

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết
Bài 3. (5,0 điểm)
Cho tam giác không cân $ABC$. Kí hiệu $(I)$ là đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác $ABC$ và $D,E,F$ là các tiếp điểm của $(I)$ với $BC,CA,AB$. Đường thẳng qua $E$ vuông góc $BI$ cắt $(I)$ tại $K$ khác $E$, đường thẳng qua $F$ vuông góc $CI$ cắt $(I)$ tại $L$ khác $F$. Gọi $J$ là trung điểm $KL$
a) Chứng minh $D,I,J$ thẳng hàng.
b) Giả sử $B,C$ cố định, $A$ thay đổi sao cho tỷ số $\frac{AB}{AC}=k$ không đổi. Gọi $M,N$ tương ứng là các giao điểm $IE, IF$ với $(I)$ ($M$ khác $E$, $N$ khác $F$). $MN$ cắt $IB, IC$ tại $P,Q$. Chứng minh đường trung trực $PQ$ luôn qua 1 điểm cố định.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 11-01-2013 - 17:08

“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh

#2
BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết

Bài 3. (5,0 điểm)
Cho tam giác không cân $ABC$. Kí hiệu $(I)$ là đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác $ABC$ và $D,E,F$ là các tiếp điểm của $(I)$ với $BC,CA,AB$. Đường thẳng qua $E$ vuông góc $BI$ cắt $(I)$ tại $K$ khác $E$, đường thẳng qua $F$ vuông góc $CI$ cắt $(I)$ tại $L$ khác $F$. Gọi $J$ là trung điểm $KL$
a) Chứng minh $D,I,J$ thẳng hàng.

Câu a khá dễ :)
PhotoShare(2).png
Nghe a WhjteShadow nói là có cách cộng góc + xét đồng dạng nhưng e chưa nghĩ ra
Từ giả thiết dễ dàng suy ra $LFED, EKDF$ là hình thang cân
$\Rightarrow DK = EF = LD$
Hay $D$ nằm trên trung trực $LK$, vậy có $D,I,J$ thẳng hàng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 11-01-2013 - 14:15


#3
nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết

Bài 3. (5,0 điểm)
Cho tam giác không cân $ABC$. Kí hiệu $(I)$ là đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác $ABC$ và $D,E,F$ là các tiếp điểm của $(I)$ với $BC,CA,AB$. Đường thẳng qua $E$ vuông góc $BI$ cắt $(I)$ tại $K$ khác $E$, đường thẳng qua $F$ vuông góc $CI$ cắt $(I)$ tại $L$ khác $F$. Gọi $J$ là trung điểm $KL$
a) Chứng minh $D,I,J$ thẳng hàng.
b) Giả sử $B,C$ cố định, $A$ thay đổi sao cho tỷ số $\frac{AB}{AC}=k$ không đổi. Gọi $M,N$ tương ứng là các giao điểm $IE, IF$ với $(I)$ ($M$ khác $E$, $N$ khác $F$). $MN$ cắt $IB, IC$ tại $P,Q$. Chứng minh đường trung trực $PQ$ luôn qua 1 điểm cố định.

Đùa, hình lằng nhằng quá !
a) Chắc là câu gỡ điểm nên mới dễ như thế
b) Gọi $BI,CI$ cắt $EF$ tại $S,H$
Khi đó ta có: $\angle HFB=\angle AFE=90^o-\dfrac{\angle BAC}{2}=\dfrac{\angle ABC+\angle ACB}{2}=\angle HIB$
Suy ra tứ giác $HFIB$ nội tiếp
Suy ra $\angle BHC=\angle BFI=90^o$
Suy ra $BHSC$ nội tiếp
Mà $HS//PQ$ nên $\angle IPQ=\angle HSI=\angle ICB$
Suy ra $\Delta IPQ$ và $\Delta ICB$ đồng dạng
Gọi Trung trực PQ cắt BC tại G, cắt PQ tại T,
AI cắt PQ tại R, cắt BC tại U, cắt EF tại V
Đường thẳng qua O vuông góc với AI cắt AI tại W
Z là trung điểm HS
O là trung điểm BC
Ta có: $RT=ZV$
Do $Z$ là trung điểm HS mà $O$ là tâm đường tròn tứ giác BCSH nên OZ vuông góc với HS hay $OZ//AW$
Suy ra $ZV=OW=RT$ suy ra $OU=UG$ suy ra $G$ cố định

Hình gửi kèm

  • PhotoShare.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 11-01-2013 - 21:28

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#4
barcavodich

barcavodich

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 449 Bài viết
tại sao $ OW $=$ RT $ và $ OU $=$ UG $ :unsure:
OU=UG

[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful


#5
nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết

tại sao $ OW $=$ RT $ và $ OU $=$ UG $ :unsure:
OU=UG

Ta có: $ZV=RT$ mà $ZV=OW$ nên $OW=RT$
Suy ra khoảng cách từ O đến AI bằng khoảng cách từ AI đến TG
Suy ra $OU=UG$

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#6
vuanh97

vuanh97

    Lính mới

  • Thành viên
  • 6 Bài viết
câu b mình cũng kéo dài BI CI ra cắt EF ở SH.
sau đó để ý PQ là đx của SH qua I nên trung trực PQ đối xứng trung trực SH qua I. từ đó AI cách đều hai trung trực này nên G đối xứng O qua U. O U cố định nên G cố định :D

#7
namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
Hình xấu qua, nhì toét mắt mới ra câu a :icon6: .

Ngoài các cách giải trên mình còn có 1 cách giải là CM LK//BC.

Việc cm thì cần vẽ CI cắt LK tại U.

Bằng các góc trong chắn 2 cung của hình tròn ta cm được $\measuredangle CUK=\measuredangle UCB$

=>LK//BC

=>đpcm.

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: vmo 2013

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh