Chủ đề này có 3 trả lời

[WhjteShadow]

Bài 1. (0,5 điểm)
Giải hệ phương trình với $x,y \in \mathbb{R}$ :
$$\left\{ \begin{align}
& \sqrt{{{\sin }^{2}}x+\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}}+\sqrt{{{\cos }^{2}}y+\frac{1}{{{\cos }^{2}}y}}=\sqrt{\frac{20y}{x+y}} \\
& \sqrt{{{\sin }^{2}}y+\frac{1}{{{\sin }^{2}}y}}+\sqrt{{{\cos }^{2}}x+\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}}=\sqrt{\frac{20x}{x+y}} \\
\end{align} \right.$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 11-01-2013 - 17:07

[L Lawliet]

Lời giải: Điều kiện xác định $x\neq \dfrac{m\pi }{2}$, $y\neq \dfrac{n\pi }{2}$ ($m$, $n\in \mathbb{Z}$), $xy\geq 0$, $x+y\neq 0$.
Cộng vế theo vế hai phương trình của hệ ta được:
$\left ( \sqrt{\sin^{2}x+\dfrac{1}{\sin^{2}x}}+\sqrt{\cos^{2}x+\dfrac{1}{\cos^{2}x}} \right )+\left ( \sqrt{\sin^{2}y+\dfrac{1}{\sin^{2}y}}+\sqrt{\cos^{2}y+\dfrac{1}{\cos^{2}y}} \right )=\sqrt{\dfrac{20x}{x+y}}+\sqrt{\dfrac{20y}{x+y}} \ \ \left ( 1 \right )$
Áp dụng bất đẳng thức Minkowsky ta được:
$\sqrt{\sin^{2}x+\dfrac{1}{\sin^{2}x}}+\sqrt{\cos^{2}x+\dfrac{1}{\cos^{2}x}}\geq \sqrt{\left ( \left | \sin x \right |+\left | \cos x \right | \right )^{2}+\left ( \dfrac{1}{\left | \sin x \right |} \right )+\dfrac{1}{\left ( \cos x \right )^{2}}}\\ =\sqrt{1+\left | \sin 2x \right |+\dfrac{4\left ( 1+\left | \sin 2x \right | \right )}{\sin^{2}2x}}\geq\sqrt{1+\left | \sin 2x \right |+\dfrac{4\left ( 1+\left | \sin 2x \right | \right )}{\left | \sin 2x \right |}}\\ =\sqrt{5+\left ( \left | \sin 2x \right |+\dfrac{1}{\left | \sin 2x \right |} \right )+\dfrac{2}{\left | \sin 2x \right |}}\geq \sqrt{5+2+\dfrac{3}{1}}=\sqrt{10}$
Chứng minh tương tự ta được:
$$\sqrt{\sin^{2}y+\dfrac{1}{\sin^{2}y}}+\sqrt{\cos^{2}y+\dfrac{1}{\cos^{2}y}}\geq \sqrt{10}$$
Từ đó suy ra:
$$\left ( \sqrt{\sin^{2}x+\dfrac{1}{\sin^{2}x}}+\sqrt{\cos^{2}x+\dfrac{1}{\cos^{2}x}} \right )+\left ( \sqrt{\sin^{2}y+\dfrac{1}{\sin^{2}y}}+\sqrt{\cos^{2}y+\dfrac{1}{\cos^{2}y}} \right )\geq 2\sqrt{10} \ \ \left ( 2 \right )$$
Dấu "$=$" xảy ra khi và chỉ khi $\left | \sin 2x \right |=\left | \sin 2y \right |=1$.
Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy-Shwarz thì:
$$\sqrt{\dfrac{20x}{x+y}}+\sqrt{\dfrac{20y}{x+y}}\leq \sqrt{2\left ( \dfrac{20x}{x+y}+\dfrac{20y}{x+y} \right )}=2\sqrt{10} \ \ \left ( 3 \right )$$
Dấy "$=$" xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{x}{x+y}=\dfrac{y}{x+y}$ hay $x=y$.
Từ $\left ( 2 \right )$ và $\left ( 3 \right )$ ta thấy rằng $\left ( 1 \right )$ xảy ra khi $\left ( 2 \right )$ và $\left ( 3 \right )$ xảy ra đẳng thức, tức là $\left | \sin 2x \right |=\left | \sin 2y \right |=1$ và $x=y$. Giải hệ này ta tìm được $x=y=\dfrac{\pi }{4}+\dfrac{k\pi }{2}$ ($k\in \mathbb{Z}$). Thử lại ta thấy thỏa mãn điều kiện xác định và hệ. Vậy nghiệm của hệ là $\left ( x;y \right )=\left ( \dfrac{\pi }{4}+\dfrac{k\pi }{2};\dfrac{\pi }{4}+\dfrac{k\pi }{2} \right )$ ($k\in \mathbb{Z}$).
==========

Spoiler

Làm được mỗi bài này

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gin Escaper: 11-01-2013 - 12:38

[Stranger411]

Cách khác: (không dùng Minkowski )
ĐKXĐ: $x\neq \dfrac{m\pi }{2}$, $y\neq \dfrac{n\pi }{2}$ ($m$, $n\in \mathbb{Z}$), $xy\geq 0$, $x+y\neq 0$.
Ta chứng minh:
$(\sqrt{{{\sin }^{2}}x+\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}}+\sqrt{{{\cos }^{2}}y+\frac{1}{{{\cos }^{2}}y}})^2 + (\sqrt{{{\sin }^{2}}y+\frac{1}{{{\sin }^{2}}y}}+\sqrt{{{\cos }^{2}}x+\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}})^2 \ge 20$

Áp dụng $\frac{1}{\sin ^2 x} + \frac{1}{\cos ^2 x} \ge 4$ $ \forall x \neq 0$, ta có:
$(\sqrt{{{\sin }^{2}}x+\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}}+\sqrt{{{\cos }^{2}}y+\frac{1}{{{\cos }^{2}}y}})^2 + (\sqrt{{{\sin }^{2}}y+\frac{1}{{{\sin }^{2}}y}}+\sqrt{{{\cos }^{2}}x+\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}})^2 $
$\ge 10 + 2 \sqrt{{{\sin }^{2}}x+\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}}.\sqrt{{{\cos }^{2}}y+\frac{1}{{{\cos }^{2}}y}} + 2 \sqrt{{{\sin }^{2}}y+\frac{1}{{{\sin }^{2}}y}}.\sqrt{{{\cos }^{2}}x+\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}}$

Vậy chỉ cần chứng minh:
$ \sqrt{{{\sin }^{2}}x+\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}}.\sqrt{{{\cos }^{2}}y+\frac{1}{{{\cos }^{2}}y}} + \sqrt{{{\sin }^{2}}y+\frac{1}{{{\sin }^{2}}y}}.\sqrt{{{\cos }^{2}}x+\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}} \ge 5$ $ \forall x \neq 0$
từ đó quay về chứng minh:
$ \left(\sin^2x + \dfrac{1}{\sin^2x}\right)\left(\cos^2x + \dfrac{1}{\cos^2x}\right) \geq \left(\dfrac{5}{2}\right)^2.$và $ \left(\sin^2y + \dfrac{1}{\sin^2y}\right)\left(\cos^2y + \dfrac{1}{\cos^2y}\right) \geq \left(\dfrac{5}{2}\right)^2.$

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và AM-GM ta có
$$ \begin{aligned} \left(\sin^2x + \dfrac{1}{\sin^2x}\right)\left(\cos^2x + \dfrac{1}{\cos^2x}\right) \ & \geq \left(|\sin x\cos x|+\dfrac{1}{|\sin x\cos x|}\right)^2 \\ & =\left(\dfrac{|\sin 2x|}{2}+\dfrac{1}{2|\sin 2x|}+\dfrac{3}{2|\sin 2x|}\right)^2 \\ & \geq \left( 1+\dfrac{3}{2}\right)^2=\left(\dfrac{5}{2}\right)^2.\end{aligned}$$
Ta có (đpcm).
Suy ra: $\tan x = \tan y= \pm 1$ và $x=y$
Từ đó, ta được $ x=y= \dfrac{\pi }{4}+\dfrac{k\pi }{2}$ ($k\in \mathbb{Z}$).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Stranger411: 11-01-2013 - 23:08

[namcpnh]

Hình như Mincopski là BĐT vecto phải không?Mình dùng BĐT vecto rồi chứng minh trực tiếp (mình không nhớ rõ biểu thức nhưng các bạn lấy (1)+(2) và (1)-(2) rồi nhân 2 cái biểu thức đó lại cũng ra đẹp lắm).