Chủ đề này có 7 trả lời

[WhjteShadow]

Bài 4. (5,0 điểm)
Cho trước một số số tự nhiên được viết trên một đường thẳng. Ta thực hiện các bước điền số lên đường thẳng như sau: tại mỗi bước, trước tiên xác định tất cả các cặp số kề nhau hiện có trên đường thẳng theo thứ tự từ trái qua phải, sau đó điền vào giữa mỗi cặp một số bẳng tổng của hai số thuộc cặp đó. Hỏi sau $2013$ bước, số $2013$ xuất hiện bao nhiêu lần trên đường thẳng trong các trường hợp sau:
a) Các số cho trước là: $1$ và $1000$?
b) Các số cho trước là: $1,2,...,1000$ và được xếp theo thức tự tăng dần từ trái qua phải?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 11-01-2013 - 17:08

[BlackSelena]

Bài 4. (5,0 điểm)
Cho trước một số số tự nhiên được viết trên một đường thẳng. Ta thực hiện các bước điền số lên đường thẳng như sau: tại mỗi bước, trước tiên xác định tất cả các cặp số kề nhau hiện có trên đường thẳng theo thứ tự từ trái qua phải, sau đó điền vào giữa mỗi cặp một số bẳng tổng của hai số thuộc cặp đó. Hỏi sau $2013$ bước, số $2013$ xuất hiện bao nhiêu lần trên đường thẳng trong các trường hợp sau:
a) Các số cho trước là: $1$ và $1000$?

Làm "bừa" câu a thử vậy @@:
Lúc đầu ta có 2 số, vậy 'đường thẳng' đó ta chỉ có thể thực hiện 1 lượt duy nhất
$1 - 1001 - 1000$
Thực hiện 2 lượt
$1 - 1002 - 1001 - 2001 - 1000$
Nhận thấy từ số 1001 đổ về bên phải thì tổng số 'kẹp' giữa 2 số sẽ lớn hớn 2013, vậy nên ta ko cần xét phía 1001 đổ qua phải
Xét đoạn $1 - 1002 - 1001$
$1 - 1003 - 1002 - 2003$, tương tự ta cũng ko cần xét đoạn $1002$ đổ qua bên phải
Để ý ta chỉ có thể thu được tổng 2013 dựa vào 2 tổng $2012+1$ và $1006 + 1007$, do nếu vượt quá 2012 thì bất cứ tổng nào tạo thành cũng $> 2013$
Vậy tổng cộng số 2013 xuất hiện 2 lần.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 11-01-2013 - 14:06

[WhjteShadow]

Câu a) như ch0 không biếu không ý nhỷ
Ta chỉ cần quan tâm đến các số $\leq 2013$, tức là các số đầu mỗi hàng, còn các số $>2013$ không cần quan tâm:
Đầu tiên ta viết $1..1000$
Sau bước đầu là $1...1001...1000$
Sau bước 2 là $1...1002...1001..2001...1000$
Sau bước 3 là $1...1003...1002...2003....$
Sau bước 4 là $1...1004...1003...2005...1002..$
Sau bước 5 là $1...1005...1004...2007...1003..$
Sau bước 6 là $1...1006...1005...2009.....$
Sau bước 7 là $1...1007...1006...2011.....$
Sau bước 8 là $1...1008...1007...2013.....$
Lúc này đã xuất hiện 1 số $2013$, ta làm tiếp đến bước 1013 dãy sẽ trở thành:
$$1...2013...2012....4023.....$$
Sau đó toàn bộ số hạng xuất hiện tr0ng dãy sẽ $>2013$ và không còn 1 số $2013$ nào được xuất hiện thêm nữa !
Vậy chỉ có 2 lần xuất hiện....

[maitienluat]

Làm bừa câu b, mọi người chém nhẹ tay. Có thể chỉ là hướng thôi chứ k phải bài giải.
Xét cặp số bất kì n và n+1. Khi đó thực hiện thao tác ta sẽ có số 2n+1. Số này chỉ có thể tiếp tục thao tác với n hoặc n+1. Do đó các số tạo ra bằng thao tác sẽ có dạng $an+b(n+1)$ hay là $x_{n}n+y_{n}, x_{n},y_{n}\in \mathbb{N}$*,$x_{n}-1\geq y{_n}$.
Khi đó, số số 2013 xuất hiện trên đường thẳng là tổng số các nghiệm $(x_{n},y_{n})$ của pt $x_{n}n+y_{n}=2013$ với n chạy từ 1 đến 999. Vì mỗi giá trị của $x_{n}$ thoả mãn điều kiện trên tương ứng với 1 giá trị của $y_{n}$ nên ta chỉ cần tìm số giá trị có thể nhận được của $x_{n}$.
Xét pt $x_{n}n+y_{n}=2013$. Ta có $x_{n}n< 2013< x_{n}(n+1)\Leftrightarrow x_{n}< \frac{2013}{n},x_{n}> \frac{2013}{n+1}\Leftrightarrow \left [ \frac{2013}{n+1} \right ]+1\leq x_{n}\leq \left [ \frac{2013}{n} \right ]$.
Suy ra nếu đặt $k_{n}=\left [ \frac{2013}{n} \right ]-\left [ \frac{2013}{n+1} \right ]$ thì số giá trị mà $x_{n}$ có thể nhận đúng bằng $k_{n}$. Từ đó số lần xuất hiện của số 2013 trên đường thẳng là $\sum_{n=1}^{999}k_{n}=\left [ \frac{2013}{1} \right ]-\left [ \frac{2013}{2} \right ]+\left [ \frac{2013}{2} \right ]-\left [ \frac{2013}{3} \right ]+...+\left [ \frac{2013}{999} \right ]-\left [ \frac{2013}{1000} \right ]=\left [ \frac{2013}{1} \right ]-\left [ \frac{2013}{1000} \right ]=2013-2-2011$
@WhjteShadow: đã sửa lại phần tổng cho rõ ràng hơn, còn phần trên thì k biết phải sửa thế nào cho hợp lý

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maitienluat: 11-01-2013 - 22:01

[WhjteShadow]

Làm bừa câu b, mọi người chém nhẹ tay. Có thể chỉ là hướng thôi chứ k phải bài giải.
Xét cặp số bất kì n và n+1. Khi đó thực hiện thao tác ta sẽ có số 2n+1. Số này chỉ có thể tiếp tục thao tác với n hoặc n+1. Do đó các số tạo ra bằng thao tác sẽ có dạng $an+b(n+1)$ hay là $x_{n}n+y_{n}, x_{n},y_{n}\in \mathbb{N}$*,$x_{n}-1\geq y{_n}$.
Khi đó, số số 2013 xuất hiện trên đường thẳng là tổng số các nghiệm $(x_{n},y_{n})$ của pt $x_{n}n+y_{n}=2013$ với n chạy từ 1 đến 999. Vì mỗi giá trị của $x_{n}$ thoả mãn điều kiện trên tương ứng với 1 giá trị của $y_{n}$ nên ta chỉ cần tìm số giá trị có thể nhận được của $x_{n}$.
Xét pt $x_{n}n+y_{n}=2013$. Ta có $x_{n}n< 2013< x_{n}(n+1)\Leftrightarrow x_{n}< \frac{2013}{n},x_{n}> \frac{2013}{n+1}\Leftrightarrow \left [ \frac{2013}{n+1} \right ]+1\leq x_{n}\leq \left [ \frac{2013}{n} \right ]$.
Suy ra nếu đặt $k_{n}=\left [ \frac{2013}{n} \right ]-\left [ \frac{2013}{n+1} \right ]$ thì số giá trị mà $x_{n}$ có thể nhận đúng bằng $k_{n}$. Từ đó số lần xuất hiện của số 2013 trên đường thẳng là $\sum_{n=1}^{999}k_{n}$

Cách làm rất hay Luật ạ. Xin lỗi nãy t nhầm.
Nhưng sa0 chúng ta không tính hẳn nó ra ch0 máu nhỷ
Đáp số: Số lần $2013$ xuất hiện là:
$$\left [ \frac{2013}{1} \right ]-\left [ \frac{2013}{2} \right ]+\left [ \frac{2013}{2} \right ]-\left [ \frac{2013}{3} \right ]+...+\left [ \frac{2013}{999} \right ]-\left [ \frac{2013}{1000} \right ]= \left [ \frac{2013}{1} \right ]-\left [ \frac{2013}{1000} \right ]$$
$$=2013-2=2011\,\, \square$$
=========================
Khoan đã, có chỗ này quá hồ đồ
$$\left [ \frac{2013}{n+1} \right ]+1\leq x_{n}\leq \left [ \frac{2013}{n} \right ]$$
Chắc j
$$\left [ \frac{2013}{n+1} \right ]+1\leq \left [ \frac{2013}{n} \right ]$$
Nhưng dù sa0 dòng dưới vẫn đúng. C vào sửa lại ch0 hợp lý hơn nha :")

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 11-01-2013 - 22:01

[yeahboy27]

Xin đưa ra một lời giải đơn giản cho câu a) Vì ban đầu dãy số cặp số là 1 và 1000 nên sau 2013 biến đổi thì mỗi số của dãy đều có dạng a + 1000b với a, b <= 2013 a, b là các số tự nhiên khác 0 và các cặp số tự nhiên ( a, b ) là duy nhất ( trừ 2 số cho ban đầu là 1 và 1000 ). a +1000b = 2013 nên chỉ có 2 TH b = 1 và b = 2 ứng với a = 1013 và a = 13 nên số 2013 chỉ xuất hiện trong dãy 2 lần

[nguyenta98]

Làm bừa câu b, mọi người chém nhẹ tay. Có thể chỉ là hướng thôi chứ k phải bài giải.
Xét cặp số bất kì n và n+1. Khi đó thực hiện thao tác ta sẽ có số 2n+1. Số này chỉ có thể tiếp tục thao tác với n hoặc n+1. Do đó các số tạo ra bằng thao tác sẽ có dạng $an+b(n+1)$ hay là $x_{n}n+y_{n}, x_{n},y_{n}\in \mathbb{N}$*,$x_{n}-1\geq y{_n}$.
Khi đó, số số 2013 xuất hiện trên đường thẳng là tổng số các nghiệm $(x_{n},y_{n})$ của pt $x_{n}n+y_{n}=2013$ với n chạy từ 1 đến 999. Vì mỗi giá trị của $x_{n}$ thoả mãn điều kiện trên tương ứng với 1 giá trị của $y_{n}$ nên ta chỉ cần tìm số giá trị có thể nhận được của $x_{n}$.
Xét pt $x_{n}n+y_{n}=2013$. Ta có $x_{n}n< 2013< x_{n}(n+1)\Leftrightarrow x_{n}< \frac{2013}{n},x_{n}> \frac{2013}{n+1}\Leftrightarrow \left [ \frac{2013}{n+1} \right ]+1\leq x_{n}\leq \left [ \frac{2013}{n} \right ]$.
Suy ra nếu đặt $k_{n}=\left [ \frac{2013}{n} \right ]-\left [ \frac{2013}{n+1} \right ]$ thì số giá trị mà $x_{n}$ có thể nhận đúng bằng $k_{n}$. Từ đó số lần xuất hiện của số 2013 trên đường thẳng là $\sum_{n=1}^{999}k_{n}=\left [ \frac{2013}{1} \right ]-\left [ \frac{2013}{2} \right ]+\left [ \frac{2013}{2} \right ]-\left [ \frac{2013}{3} \right ]+...+\left [ \frac{2013}{999} \right ]-\left [ \frac{2013}{1000} \right ]=\left [ \frac{2013}{1} \right ]-\left [ \frac{2013}{1000} \right ]=2013-2-2011$
@WhjteShadow: đã sửa lại phần tổng cho rõ ràng hơn, còn phần trên thì k biết phải sửa thế nào cho hợp lý

Xin lỗi chứ theo mình lời giải này có vấn đề, giữa hai khoảng $(n,n+1)$ ta thực hiện bước như đề và số mới điền vào xen giữa hai số cũ phải có một phép biến đổi nào đó chả lẽ lại không có ràng buộc gì hay sao? Ở bài của bạn trên có $x_n,y_n$ cái đó đúng nhưng không hề có sự ràng buộc gì cho nên mình nghĩ có sự sai sót ở đây, hơn nữa dù sao bạn cũng đã chặn được cho mọi người số lần xuất hiện của $2013$ phải nhỏ hơn hoặc bằng 2011

[nguyenta98]

Lời giải của thầy Thắng (Thangtoan) bên Mathscope, ban đầu mình cũng tính toán hệ số giữa hai số $(a,a+1)$ song không ngờ nó liên quan đến dãy Farey (Farey series)
Xem chi tiết ở http://forum.mathsco...?t=39901&page=2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 12-01-2013 - 17:13