Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi Olympic toán sinh viên ĐH Ngoại Thương TPHCM 2013


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 17 trả lời

#1 bachocdien

bachocdien

    Hạ sĩ

  • Biên tập viên
  • 62 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Mathematics, physics, english, and traveling

Đã gửi 11-01-2013 - 12:41

Câu 1. Cho ma trận $A=\begin{pmatrix} -2 & 1 & 2\\ -7 & 3 & 5\\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$. đặt $U_{n}=E+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}A^{k}$ với E là ma trận đơn vị cấp 3. Tính $\lim_{n \to \infty }U_{n}$



Câu 2. Dãy số Fibonaci được định nghĩa bởi $F_{0}=1$;$F_{1}=1$;$F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1}$nếu $n\geq 1$


a)CMR: $F_{n}^{2}-F_{n-1}F_{n+1}=(-1)^{n}$ nếu $n\geq 1$


b)Tính giá trị của $\prod_{n=1}^{+\infty }\left ( 1+\frac{(-1)^{n+1}}{F_{n}^{2}} \right )$



Câu 3. Với $a_{i},b_{i}(i=1,2,...n)$ là các số thực cho trước đôi một phân biệt. Xét hệ phương trình sau:
$$\left\{\begin{matrix} \frac{x_{1}}{a_{1}-b_{1}}+\frac{x_{2}}{a_{1}-b_{2}}+...\frac{x_{n}}{a_{1}-b_{n}}=1\\ \frac{x_{1}}{a_{2}-b_{1}}+\frac{x_{2}}{a_{2}-b_{2}}+...+\frac{x_{n}}{a_{2}-b_{n}}=1\\ .......................................\\ \frac{x_{1}}{a_{n}-b_{1}}+\frac{x_{2}}{a_{n}-b_{2}}+...+\frac{x_{n}}{a_{n}-b_{n}}=1 \end{matrix}\right.$$

a)Giải hệ phương trình
b)Tính tổng các ngiệm



Câu 4. Cho $A=\begin{bmatrix} a &b \\ c &d \end{bmatrix}$ là một ma trận thực hoặc phức với các giá trị riêng phân biệt $\lambda _{1},\lambda _{2}$ và các vector riêng tương ứng $X_{1},X_{2}$. Cho $P=\begin{bmatrix} X_{1}\setminus X_{2} \end{bmatrix}$. CMR hệ $\left\{\begin{matrix} x_{n+1}=ax_{n}+by_{n}\\ y_{n+1}=cx_{n}+dy_{n} \end{matrix}\right.$ có nghiệm là $\begin{bmatrix} x_{n}\\ y_{n} \end{bmatrix}=\alpha \lambda _{1}^{n}X_{1}+\beta \lambda _{2}^{n}X_{2}$ trong đó $\alpha ,\beta$ được xác định bởi phương trình $\begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix}=P^{-1}\begin{bmatrix} x_{0}\\ y_{0} \end{bmatrix}$



Câu 5. Cho ma trận $A=\begin{bmatrix} 2 &-1 &0 &0 \\ 0 &2 &-1 &0 \\ 0 &0 &2 &-1 \\ 0 &0 &0 &2 \end{bmatrix}$. tìm tất cả các ma trận X thỏa mãn $A.X=X.A$



câu 6.Biện luận theo m nghiệm đa thức $P(x)$ của phương trình hàm sau: $1+x+P(x)=m[P(x+1)+P(x-1)]$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 11-01-2013 - 22:28


#2 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 13-01-2013 - 10:58

Câu 2. Dãy số Fibonaci được định nghĩa bởi $F_{0}=1$;$F_{1}=1$;$F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1}$nếu $n\geq 1$


a)CMR: $F_{n}^{2}-F_{n-1}F_{n+1}=(-1)^{n}$ nếu $n\geq 1$

Ta có: $F_2^2-F_1F_{3}=1-1.2=-1;F_3^2-F_2F_4=2^2-1.3=1$.
Giả sử $F_n^2-F_{n-1}F_{n+1}=(-1)^{n-1}$ đúng. Khi ấy theo quy nạp $$F_{n+1}^2-F_nF_{n+2}=F_{n+1}(F_n+F_{n-1})-F_n.(F_{n+1}+F_n)=F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2=-(-1)^{n-1}=(-1)^n$$
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#3 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 565 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 13-01-2013 - 13:04


Câu 4. Cho $A=\begin{bmatrix} a &b \\ c &d \end{bmatrix}$ là một ma trận thực hoặc phức với các giá trị riêng phân biệt $\lambda _{1},\lambda _{2}$ và các vector riêng tương ứng $X_{1},X_{2}$. Cho $P=\begin{bmatrix} X_{1}\setminus X_{2} \end{bmatrix}$. CMR hệ $\left\{\begin{matrix} x_{n+1}=ax_{n}+by_{n}\\ y_{n+1}=cx_{n}+dy_{n} \end{matrix}\right.$ có nghiệm là $\begin{bmatrix} x_{n}\\ y_{n} \end{bmatrix}=\alpha \lambda _{1}^{n}X_{1}+\beta \lambda _{2}^{n}X_{2}$ trong đó $\alpha ,\beta$ được xác định bởi phương trình $\begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix}=P^{-1}\begin{bmatrix} x_{0}\\ y_{0} \end{bmatrix}$



Đặt $X_{n}=\begin{bmatrix} x_{n}\\ y_{n} \end{bmatrix}$

Ta có: $\left\{\begin{matrix} x_{n+1}=ax_{n}+by_{n}\\ y_{n+1}=cx_{n}+dy_{n} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow X_{n+1}=AX_{n}$

Suy ra $X_{n}=A^{n}X_{0}$ với $X_{0}=\begin{bmatrix} x_{0}\\ y_{0} \end{bmatrix}$

Ma trận A có hai trị riêng phân biệt $\lambda _{1}$, $\lambda _{2}$ và các véc tơ riêng tương ứng là $X_{1}$, $X_{2}$. Đặt $P=\begin{bmatrix} X_{1} X_{2} \end{bmatrix}$.

Khi đó A chéo hóa được bởi ma trận khả nghịch $P$

Tức là $P^{-1}AP=\begin{bmatrix} \lambda _{1} & 0\\ 0 & \lambda _{2} \end{bmatrix}$

$\Rightarrow A=P\begin{bmatrix} \lambda _{1} & 0\\ 0 & \lambda _{2} \end{bmatrix}P^{-1}$

$\Rightarrow A^{n}=P\begin{bmatrix} \lambda _{1}^{n} & 0\\ 0 & \lambda _{2}^{n} \end{bmatrix}P^{-1}$

Suy ra

$X_{n}=P\begin{bmatrix} \lambda _{1}^{n} & 0\\ 0 & \lambda _{2}^{n} \end{bmatrix}P^{-1}.X_{0}$

$=\begin{bmatrix} X_{1}X_{2} \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} \lambda _{1}^{n} & 0\\ 0 & \lambda _{2}^{n} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} X_{1}X_{2} \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} \alpha \lambda _{1}^{n}\\ \beta \lambda _{2}^{n} \end{bmatrix}$

$=\alpha \lambda _{1}^{n}X_{1}+\beta \lambda _{2}^{n}X_{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 13-01-2013 - 13:07

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#4 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 565 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-01-2013 - 10:09

Câu 5. Cho ma trận $A=\begin{bmatrix} 2 &-1 &0 &0 \\ 0 &2 &-1 &0 \\ 0 &0 &2 &-1 \\ 0 &0 &0 &2 \end{bmatrix}$. tìm tất cả các ma trận X thỏa mãn $A.X=X.A$



Ta phân tích $A=2I+A_{1}+A_{2}+A_{3}$

Trong đó:


$A_{1}=\begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$A_{2}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$A_{3}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$


Đặt $X=\begin{bmatrix} a & b & c & d\\ e & f & g & h\\ i & j & k & l\\ m & n & p & q \end{bmatrix}$

Ma trận X giao hoán với A khi và chỉ khi X lần lượt giao hoán với $A_{1},A_{2},A_{3}$

* Từ điều kiện $A_{1}X=XA_{1}\Rightarrow X=\begin{bmatrix} a & b & c & d\\ 0 & a & 0 & 0\\ 0 & j & k & l\\ 0 & n & p & q \end{bmatrix}$

* Từ điều kiện $A_{2}X=XA_{2}\Rightarrow X=\begin{bmatrix} a & 0 & c & d\\ 0 & a & 0 & 0\\ 0 & 0 & a & 0\\ 0 & 0 & p & q \end{bmatrix}$

* Từ điều kiện $A_{3}X=XA_{3}\Rightarrow X=\begin{bmatrix} a & 0 & 0 & d\\ 0 & a & 0 & 0\\ 0 & 0 & a & 0\\ 0 & 0 & 0 & a \end{bmatrix}$

Kết luận: Tất cả các ma trận X giao hoán với A sẽ có dạng


$X=\begin{bmatrix} a & 0 & 0 & d\\ 0 & a & 0 & 0\\ 0 & 0 & a & 0\\ 0 & 0 & 0 & a \end{bmatrix}, \forall a,d$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 14-01-2013 - 10:14

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#5 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 14-01-2013 - 17:06

Ta phân tích $A=2I+A_{1}+A_{2}+A_{3}$

Trong đó:


$A_{1}=\begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$A_{2}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$A_{3}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$


Đặt $X=\begin{bmatrix} a & b & c & d\\ e & f & g & h\\ i & j & k & l\\ m & n & p & q \end{bmatrix}$

Ma trận X giao hoán với A khi và chỉ khi X lần lượt giao hoán với $A_{1},A_{2},A_{3}$



Chỗ này : "Ma trận X giao hoán với A khi và chỉ khi X lần lượt giao hoán với $A_{1},A_{2},A_{3}$" tức

$$A_1X+A_2X+A_3X=XA_1+XA_2+XA_3 $$
$$\Leftrightarrow \begin{cases} A_1X=XA_1 \\ A_2X=XA_2 \\ A_3X=XA_3 \end{cases}$$

Nói chung là không đúng với ma trận bất kỳ nên cần phải CM anh !

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#6 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 565 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-01-2013 - 17:51

Cảm ơn em! Ý tưởng này mới nảy ra hồi anh nhắn tin cho em thôi. hi. Mệnh đề đó sai rối. hi. Cái tội không chịu chứng minh kỹ. hi. Nhưng cũng với ý tưởng phân tích thế này, anh đã chứng minh hoàn thiện đã giải quyết xong bài toán. Giờ online bằng di động nên tối gởi lên cho. hi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 14-01-2013 - 20:45

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#7 HeilHitler

HeilHitler

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh Hóa
  • Sở thích:Trời làm màn gối đất làm chiên-Nhật nguyệt cùng ta một giấc yên-Đêm khuya chẳng dám dang chân duỗi-Chỉ sợ sơn hà xã tắc nghiêng.

Đã gửi 14-01-2013 - 18:36

[/color]

Chỗ này : "Ma trận X giao hoán với A khi và chỉ khi X lần lượt giao hoán với $A_{1},A_{2},A_{3}$" tức

$$A_1X+A_2X+A_3X=XA_1+XA_2+XA_3 $$
$$\Leftrightarrow \begin{cases} A_1X=XA_1 \\ A_2X=XA_2 \\ A_3X=XA_3 \end{cases}$$

Nói chung là không đúng với ma trận bất kỳ nên cần phải CM anh !

Thực ra chỉ cần xét ma trận $B=A-2I$ để có $BX=XB$. Ở đây có thể thấy ma trận $-BX$ là ma trận thu được bằng cách tịnh tiến tất cả các dòng của $X$ lên phía trên 1 đơn vị, và dòng cuối chuyển thành 0. Còn ma trận $-XB$ là ma trận thu đuợc bằng cách tịnh tiến tất cả các các cột của $X$ sang phía phải 1 đơn vị, và chuyển tất cả các cột đầu thành 0. Thành thử việc quy về đẳng thức $BX=XB$ có thể dễ dàng tìm ra $X$.
Cụ thể, đặt $X=\begin{bmatrix} a & b & c & d\\ e & f & g & h\\ i & j & k & l\\ m & n & p & q \end{bmatrix}$ thì:
$\begin{bmatrix} e & f & g & h\\ i & j & k & l\\ m & n & p & q\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & a & b & c\\ 0 & e & f & g\\ 0 & i & j & k\\ 0 & m & n & p \end{bmatrix}$
Dẫn đến:
$X=\begin{bmatrix} a & b & c & d\\ 0 & a & b & c\\ 0 & 0 & a & b\\ 0 & 0 & 0 & a \end{bmatrix}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HeilHitler: 14-01-2013 - 18:47


#8 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 14-01-2013 - 19:03

Câu 1. Cho ma trận $A=\begin{pmatrix} -2 & 1 & 2\\ -7 & 3 & 5\\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$. đặt $U_{n}=E+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}A^{k}$ với E là ma trận đơn vị cấp 3. Tính $\lim_{n \to \infty }U_{n}$



Câu này lừa tình quá @@

Chéo hóa ma trận $A$

$$A=P \begin{bmatrix}2 & 0 &0 \\0 &-1 &0 \\ 0& 0 &1\end{bmatrix} P^{-1}$$

Với $P=\begin{bmatrix}1 & -1 &1 \\2 &-3 &1 \\ 1& 1 &1\end{bmatrix} $

$P^{-1}=\begin{bmatrix}-2 & 1 &1 \\-\frac{1}{2} &0 &\frac{1}{2} \\ \frac{5}{2}& -1 &\frac{-1}{2}\end{bmatrix}$

Suy ra $$\dfrac{1}{k}A^k=\frac{1}{k} \begin{bmatrix}
-2.2^k+\frac{1}{2}(-1)^k+\frac{5}{2} & 2^k-1 &2^k-\frac{1}{2}(-1)^k-\frac{1}{2} \\
-4.2^k+\frac{3}{2}(-1)^k+\frac{5}{2} &2.2^k-1 &2.2^k-\frac{3}{2}(-1)^k-\frac{1}{2} \\
-2.2^k-\frac{1}{2}(-1)^k+\frac{5}{2}& 2^k-1 &2^k+\frac{1}{2}(-1)^k-\frac{1}{2}
\end{bmatrix}$$

Lấy một phần tử chẳng hạn $\dfrac{2^k-1}{k}\underset{k \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty$


Do đó $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}A^k $ không hội tụ khi $n \to +\infty $ , suy ra $U_n$ không hội tụ khi $n \to +\infty$

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#9 1110004

1110004

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 217 Bài viết

Đã gửi 14-01-2013 - 19:05

em vẫn không hiểu chứng minh của anh vo van du thì AX=(A1+A2+A3+2I)X=A1X+A2X+A3X+2X=XA1+XA2+XA3+2X=X(A1+A2+A3+2I)=XA
vậy thì chứng minh đúng rồi sao anh phudinhgiohan noi là "Nói chung là không đúng với ma trận bất kỳ nên cần phải CM anh !" giải thích dùm em đi anh!!!cám ơn anh!!

Dẫu biết cố quên là sẽ nhỡ------------------------------------------------nên dặn lòng cố nhớ để mà quên

                                      

Jaian xin hát bài mưa ơi xin đừng rơi ạ!!  66.gifMưa ơi đừng rơi nữa ..........                                                                                                                                                                                                                                                               .........Mẹ vẫn chưa về đâu!..............


#10 bachocdien

bachocdien

    Hạ sĩ

  • Biên tập viên
  • 62 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Mathematics, physics, english, and traveling

Đã gửi 14-01-2013 - 19:33

Câu này lừa tình quá @@

Chéo hóa ma trận $A$

$$A=P \begin{bmatrix}2 & 0 &0 \\0 &-1 &0 \\ 0& 0 &1\end{bmatrix} P^{-1}$$

Với $P=\begin{bmatrix}1 & -1 &1 \\2 &-3 &1 \\ 1& 1 &1\end{bmatrix} $

$P^{-1}=\begin{bmatrix}-2 & 1 &1 \\-\frac{1}{2} &0 &\frac{1}{2} \\ \frac{5}{2}& -1 &\frac{-1}{2}\end{bmatrix}$

Suy ra $$\dfrac{1}{k}A^k=\frac{1}{k} \begin{bmatrix}
-2.2^k+\frac{1}{2}(-1)^k+\frac{5}{2} & 2^k-1 &2^k-\frac{1}{2}(-1)^k-\frac{1}{2} \\
-4.2^k+\frac{3}{2}(-1)^k+\frac{5}{2} &2.2^k-1 &2.2^k-\frac{3}{2}(-1)^k-\frac{1}{2} \\
-2.2^k-\frac{1}{2}(-1)^k+\frac{5}{2}& 2^k-1 &2^k+\frac{1}{2}(-1)^k-\frac{1}{2}
\end{bmatrix}$$

Lấy một phần tử chẳng hạn $\dfrac{2^k-1}{k}\underset{k \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty$


Do đó $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}A^k $ không hội tụ khi $n \to +\infty $ , suy ra $U_n$ không hội tụ khi $n \to +\infty$

lúc em làm, chéo hóa...sai :( :angry:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bachocdien: 14-01-2013 - 19:34


#11 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 14-01-2013 - 19:49

em vẫn không hiểu chứng minh của anh vo van du thì AX=(A1+A2+A3+2I)X=A1X+A2X+A3X+2X=XA1+XA2+XA3+2X=X(A1+A2+A3+2I)=XA
vậy thì chứng minh đúng rồi sao anh phudinhgiohan noi là "Nói chung là không đúng với ma trận bất kỳ nên cần phải CM anh !" giải thích dùm em đi anh!!!cám ơn anh!!


Dòng này $AX=(A_1+A_2+A_3+2I)X=A_1X+A_2X+A_3X+2X=XA_1+XA_2+XA_3+2X=X(A_1+A_2+A_3)=XA$

có nghĩa là nếu $A_1X=XA_2\;, A_2X=XA_2\;\;, A_3X=XA_3$ thì $AX=XA$ , cái này hiển nhiên. Chiều ngược lại $AX=XA$ chưa chắc đã có $A_1X=XA_2\;, A_2X=XA_2\;\;, A_3X=XA_3$ . Tính chất của chiều ngược lại này chỉ đúng với một số lớp ma trận nhất định, do đó cần phải cm họ $(A_1,A_2,A_3)$ có tính chất đó.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 14-01-2013 - 19:49

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#12 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 15-01-2013 - 02:20


Câu 3. Với $a_{i},b_{i}(i=1,2,...n)$ là các số thực cho trước đôi một phân biệt. Xét hệ phương trình sau:
$$\left\{\begin{matrix} \frac{x_{1}}{a_{1}-b_{1}}+\frac{x_{2}}{a_{1}-b_{2}}+...\frac{x_{n}}{a_{1}-b_{n}}=1 \;\;\\ \frac{x_{1}}{a_{2}-b_{1}}+\frac{x_{2}}{a_{2}-b_{2}}+...+\frac{x_{n}}{a_{2}-b_{n}}=1 \;\;\\ .......................................\\ \frac{x_{1}}{a_{n}-b_{1}}+\frac{x_{2}}{a_{n}-b_{2}}+...+\frac{x_{n}}{a_{n}-b_{n}}=1 \;\;\end{matrix}\right.$$

a)Giải hệ phương trình
b)Tính tổng các ngiệm



Ta biểu diễn hệ trên bằng ma trận $A$

$$A=(a_{ij})_{ij}=\begin{bmatrix}
\dfrac{1}{a_1-b_1}&\dfrac{1}{a_1-b_2} &... & \dfrac{1}{a_1-b_n} &1 \\
\dfrac{1}{a_2-b_1}&\dfrac{1}{a_2-b_2} &... &\dfrac{1}{a_2-b_n} &1 \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
\dfrac{1}{a_n-b_1}&\dfrac{1}{a_n-b_2} &... & \dfrac{1}{a_n-b_n} & 1\\

\end{bmatrix}$$

Việc giải hệ quy về việc biến đổi sơ cấp dòng đưa $A'$ ($A'$ có được từ $A$ bỏ đi cột cuối cùng) về ma trận bậc thang.

$$A \overset{d_{n}-d_i}{\longrightarrow} \begin{bmatrix}
\frac{a_1-a_n}{(a_1-b_1)(a_n-b_1)} &\frac{a_1-a_n}{(a_1-b_2)(a_n-b_2)} &... &\frac{a_1-a_n}{(a_1-b_n)(a_n-b_n)}&0 \\
\frac{a_2-a_n}{(a_2-b_1)(a_n-b_1)}&\frac{a_2-a_n}{(a_2-b_2)(a_n-b_2)} &... &\frac{a_2-a_n}{(a_2-b_n)(a_n-b_n)} &0\\
\vdots & \vdots & & \vdots &\\
\frac{a_{n-1}-a_n}{(a_{n-1}-b_1)(a_n-b_1)} &\frac{a_{n-1}-a_n}{(a_{n-1}-b_2)(a_n-b_2)} & ... & \frac{a_{n-1}-a_n}{(a_{n-1}-b_n)(a_n-b_n)}&0\\
\frac{1}{a_n-b_1}&\frac{1}{a_n-b_2} &... &\frac{1}{a_n-b_n} &1
\end{bmatrix}$$

$$ \overset{\frac{d_i}{a_i-a_{n}}}{\longrightarrow} \begin{bmatrix}
\frac{1}{(a_1-b_1)(a_n-b_1)} &\frac{1}{(a_1-b_2)(a_n-b_2)} &... &\frac{1}{(a_1-b_n)(a_n-b_n)}&0 \\
\frac{1}{(a_2-b_1)(a_n-b_1)}&\frac{1}{(a_2-b_2)(a_n-b_2)} &... &\frac{1}{(a_2-b_n)(a_n-b_n)} &0\\
\vdots & \vdots & & \vdots &\\
\frac{1}{(a_{n-1}-b_1)(a_n-b_1)} &\frac{1}{(a_{n-1}-b_2)(a_n-b_2)} & ... & \frac{1}{(a_{n-1}-b_n)(a_n-b_n)}&0\\
\frac{1}{a_n-b_1}&\frac{1}{a_n-b_2} &... &\frac{1}{a_n-b_n} &1
\end{bmatrix}$$

$\overset{d_n-(a_i-b_n)d_i}{\longrightarrow} \begin{bmatrix}
\frac{b_n-b_1}{(a_n-b_1)(a_1-b_1)} &\frac{b_n-b_2}{(a_n-b_2)(a_1-b_2)} & ... & \frac{b_n-b_{n-1}}{(a_n-b_{n-1})(a_1-b_{n-1})} &0&1 \\
\frac{b_n-b_1}{(a_n-b_1)(a_2-b_1)} &\frac{b_n-b_2}{(a_n-b_2)(a_2-b_2)} &... &\frac{b_n-b_{n-1}}{(a_n-b_{n-1})(a_{2}-b_{n-1})} &0&1 \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \\ \frac{b_n-b_1}{(a_n-b_1)(a_{n-1}-b_1)} &\frac{b_n-b_2}{(a_n-b_2)(a_{n-1}-b_2)} &...&\frac{b_n-b_{n-1}}{(a_n-b_{n-1})(a_{n-1}-b_{n-1})}& 0& 1 \\
\frac{1}{a_n-b_1}&\frac{1}{a_n-b_2} &... &\frac{1}{a_n-b_{n-1}} &\frac{1}{a_n-b_n}&1
\end{bmatrix}$


tương tụ như vậy, áp dụng quy trình gồm 3 bước :$ d_{n-1}-d_i \to d_i \;\;, \dfrac{d_i}{a_i-a_{n-1}} \to d_i \;\;, d_{n-1}-(a_i-a_{n-1})d_i\to d_i$ ta thu được ma trận

$ \begin{bmatrix}
\frac{(b_n-b_1)(b_{n-1}-b_1)}{(a_n-b_1)(a_{n-1}-b_1)(a_1-b_1)} &\frac{(b_n-b_2)(b_{n-1}-b_2)}{(a_n-b_2)(a_{n-1}-b_2)(a_1-b_2)} & ... & \frac{(b_n-b_{n-1})(b_{n-1}-b_{n-2})}{(a_n-b_{n-2})(a_{n-1}-b_{n-2})(a_1-b_{n-2})} &0&0&1 \\
\frac{(b_n-b_1)(b_{n-1}-b_1)}{(a_n-b_1)(a_{n-1}-b_1)(a_2-b_1)} &\frac{(b_n-b_2)(b_{n-1}-b_2)}{(a_n-b_2)(a_{n-1}-b_2)(a_2-b_2)} &... &\frac{(b_n-b_{n-1})(b_{n-1}-b_{n-2})}{(a_n-b_{n-2})(a_{n-1}-b_{n-2})(a_{2}-b_{n-2})} &0&0&1 \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \\\frac{(b_n-b_1)(b_{n-1}-b_1)}{(a_n-b_1)(a_{n-1}-b_1)(a_{n-2}-b_1)}&\frac{(b_n-b_2)(b_{n-1}-b_2)}{(a_n-b_2)(a_{n-1}-b_2)(a_{n-2}-b_2)}&...&\frac{(b_n-b_{n-1})(b_{n-1}-b_{n-2})}{(a_n-b_{n-2})(a_{n-1}-b_{n-2})(a_{n-2}-b_{n-2})}&0&0&1 \\ \frac{b_n-b_1}{(a_n-b_1)(a_{n-1}-b_1)} &\frac{b_n-b_2}{(a_n-b_2)(a_{n-1}-b_2)} &...&&\frac{b_n-b_{n-1}}{(a_n-b_{n-1})(a_{n-1}-b_{n-1})}& 0& 1 \\
\frac{1}{a_n-b_1}&\frac{1}{a_n-b_2} &... & &\frac{1}{a_n-b_{n-1}} &\frac{1}{a_n-b_n}&1
\end{bmatrix}$

Tiếp tục thục hiện quy trình gồm 3 bước tương tự trên, sau $n-1$ lần quy trình 3 bước, ta thu được ma trận

$\begin{bmatrix}
\frac{\prod_{k=2}^{n}(b_k-b_1)}{\prod_{k=1}^n(a_k-b_1)} & 0 &... &0 &0&0 &1 \\
\frac{\prod_{k=3}^n(b_k-b_1)}{\prod_{k=2}^n (a_k-a_1)} & \frac{\prod_{k=3}^n(b_k-b_2)}{\prod_{k=2}^n(a_k-b_2)} & ..& 0&0&0 &1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \\
\frac{b_n-b_1}{(a_n-b_1)(a_{n-1}-b_1)} &\frac{b_n-b_2}{(a_n-b_2)(a_{n-1}-b_2)} &..&&\frac{b_n-b_{n-1}}{(a_n-b_{n-1})(a_{n-1}-b_{n-1})}& 0& 1 \\
\frac{1}{a_n-b_1}&\frac{1}{a_n-b_2} &.. & &\frac{1}{a_n-b_{n-1}} &\frac{1}{a_n-b_n}&1
\end{bmatrix}$

Do đó $\forall i \in \{1,...,n\} \;\;,x_i=\dfrac{\prod_{k=2\;,k \neq i}^n (b_k-b_i)}{\prod_{k=1}^n(a_k-b_i)}$


Từ đây suy ra tổng tất cả các nghiệm bằng $a_1+a_2+...+a_n-(b_1+b_2+...+b_n) $

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#13 letrongvan

letrongvan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 213 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 21-03-2013 - 22:36


Dòng này $AX=(A_1+A_2+A_3+2I)X=A_1X+A_2X+A_3X+2X=XA_1+XA_2+XA_3+2X=X(A_1+A_2+A_3)=XA$

có nghĩa là nếu $A_1X=XA_2\;, A_2X=XA_2\;\;, A_3X=XA_3$ thì $AX=XA$ , cái này hiển nhiên. Chiều ngược lại $AX=XA$ chưa chắc đã có $A_1X=XA_2\;, A_2X=XA_2\;\;, A_3X=XA_3$ . Tính chất của chiều ngược lại này chỉ đúng với một số lớp ma trận nhất định, do đó cần phải cm họ $(A_1,A_2,A_3)$ có tính chất đó.

Theo em thế này: A=2I+B vậy chỉ cần B giao hoán với X là xong, có cần thiết tách thành ba cái ma trận cho rắc rối như anh vo van duc không anh?


Tào Tháo


#14 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 21-03-2013 - 22:46

Theo em thế này: A=2I+B vậy chỉ cần B giao hoán với X là xong, có cần thiết tách thành ba cái ma trận cho rắc rối như anh vo van duc không anh?

 

Thật ra tách $A=2I-B$ , khi đó $B$ là ma trận Jordan, dễ kiểm tra rằng $\forall k \ge 4, B^k=0$ , vậy ta có thể dùng khai triển Newton để tính dễ dàng rồi :D.


Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#15 letrongvan

letrongvan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 213 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 22-03-2013 - 02:34


Ta biểu diễn hệ trên bằng ma trận $A$

$$A=(a_{ij})_{ij}=\begin{bmatrix}
\dfrac{1}{a_1-b_1}&\dfrac{1}{a_1-b_2} &... & \dfrac{1}{a_1-b_n} &1 \\
\dfrac{1}{a_2-b_1}&\dfrac{1}{a_2-b_2} &... &\dfrac{1}{a_2-b_n} &1 \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
\dfrac{1}{a_n-b_1}&\dfrac{1}{a_n-b_2} &... & \dfrac{1}{a_n-b_n} & 1\\

\end{bmatrix}$$

Việc giải hệ quy về việc biến đổi sơ cấp dòng đưa $A'$ ($A'$ có được từ $A$ bỏ đi cột cuối cùng) về ma trận bậc thang.
....

Khủng vậy anh? còn cách nào không? em không dám đọ[email protected]@


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 22-03-2013 - 08:44

Tào Tháo


#16 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 565 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 22-03-2013 - 08:41

Có cách khác chứ Vàn! hi
........................................
Xét đa thức $f(x)$ theo biến x xác định như sau

$\frac{x_{1}}{x-b_{1}}+\frac{x_{2}}{x-b_{2}}+\cdots +\frac{x_{n}}{x-b_{n}}-1=\frac{f(x)}{(x-b_{1})(x-b_{2})...(x-b_{n})}$  $(1)$

Ta có $degf(x)=n$ và hệ số của $x^{n}$ là $-1$.

Từ hệ phương trình trên ta có $f(a_{1})=f(a_{2})=\cdots =f(a_{n})=0$.

Suy ra $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ là $n$ nghiệm khác nhau của $f(x)$

Suy ra $f(x)=-(x-a_{1})(x-a_{2})...(x-a_{n})$

Do đó ta có

$\frac{x_{1}}{x-b_{1}}+\frac{x_{2}}{x-b_{2}}+\cdots +\frac{x_{n}}{x-b_{n}}-1=\frac{-(x-a_{1})(x-a_{2})...(x-a_{n})}{(x-b_{1})(x-b_{2})...(x-b_{n})}$ $(2)$

Với mỗi $i$ trong đó $i=1,2,...,n$ ta nhân hai vế của $(1)$ với $x-b_{i}$ ta được

$x_{i}+(x-b_{i})\left ( \frac{x_{1}}{x-b_{1}}+\cdots +\frac{x_{i-1}}{x-b_{i-1}}+\frac{x_{i+1}}{x-b_{i+1}}+\cdots +\frac{x_{n}}{x-b_{n}}-1 \right )=-\frac{(x-a_{1})(x-a_{2})...(x-a_{n})}{(x-b_{1})(x-b_{2})...(x-b_{n})}$

Bằng cách thay $x=b_{i}$ ta được $x_{i}=-\frac{(b_{i}-a_{1})(b_{i}-a_{2})...(b_{i}-a_{n})}{(b_{i}-b_{1}...(b_{i}-b_{i-1})(b_{i}-b_{i+1})...(b_{i}-b_{n})}$ với $i=1,2,...,n$

Đây chính là nghiệm của hệ phương trình trên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 22-03-2013 - 08:44

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#17 YeuEm Zayta

YeuEm Zayta

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 121 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Đai Học Dầu Khí Việt Nam
  • Sở thích:Gym

Đã gửi 26-09-2013 - 22:03

Do đó ta có

$\frac{x_{1}}{x-b_{1}}+\frac{x_{2}}{x-b_{2}}+\cdots +\frac{x_{n}}{x-b_{n}}-1=\frac{-(x-a_{1})(x-a_{2})...(x-a_{n})}{(x-b_{1})(x-b_{2})...(x-b_{n})}$ $(2)$

Với mỗi $i$ trong đó $i=1,2,...,n$ ta nhân hai vế của $(1)$ với $x-b_{i}$ ta được

$x_{i}+(x-b_{i})\left ( \frac{x_{1}}{x-b_{1}}+\cdots +\frac{x_{i-1}}{x-b_{i-1}}+\frac{x_{i+1}}{x-b_{i+1}}+\cdots +\frac{x_{n}}{x-b_{n}}-1 \right )=-\frac{(x-a_{1})(x-a_{2})...(x-a_{n})}{(x-b_{1})(x-b_{2})...(x-b_{n})}$

Bằng cách thay $x=b_{i}$ ta được $x_{i}=-\frac{(b_{i}-a_{1})(b_{i}-a_{2})...(b_{i}-a_{n})}{(b_{i}-b_{1}...(b_{i}-b_{i-1})(b_{i}-b_{i+1})...(b_{i}-b_{n})}$ với $i=1,2,...,n$

Đây chính là nghiệm của hệ phương trình trên.

 

Theo e,cách giải này sai rồi a.ở trên ta đã nhân 2 vế của PT vs $x$-bi tức là đã ngầm hiểu rằng x#bi nên ở duới ko thể gán giá trị bi cho $x$ được.


                                                                          OLP TOÁN SV TRÊN FACEBOOK: http://www.facebook....5/?notif_t=like  29.gif

 


#18 YeuEm Zayta

YeuEm Zayta

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 121 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Đai Học Dầu Khí Việt Nam
  • Sở thích:Gym

Đã gửi 26-09-2013 - 22:08

 

Do đó ta có

$\frac{x_{1}}{x-b_{1}}+\frac{x_{2}}{x-b_{2}}+\cdots +\frac{x_{n}}{x-b_{n}}-1=\frac{-(x-a_{1})(x-a_{2})...(x-a_{n})}{(x-b_{1})(x-b_{2})...(x-b_{n})}$ $(2)$

 

Hướng giải quyết của e như sau:từ phương trình trên ta qui đồng mẫu số 2 vế.sau đấy ta có thể tự do gán $x$=bi để lấy nghiệm dễ dàng.


                                                                          OLP TOÁN SV TRÊN FACEBOOK: http://www.facebook....5/?notif_t=like  29.gif

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh